Frage von BWorld50, 40

Wie muss ich in dieser Mathe Aufgabe vorangehen?

Guten Tag, ich habe folgende Aufgaben vor mir liegen. b) y = f(x) = ln[sin2(1/x)] Wie lautet die Umkehrfunktion und deren Definitionsbereich ? Was genau muss ich jetzt machen?

Mit freundlichen Grüßen

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 8

y = f(x) = ln [sin ^ 2 (1 / x)]

Umkehrfunktion berechnen -->

x = ln [sin ^ 2 (1 / y)] | e ^ ...

e ^ x = sin ^ 2 (1 / y) | √ ...

√( e ^ x ) = sin (1 / y) | arcsin ...

arscin( √( e ^ x ) ) = 1 / y | * y

y * arscin( √( e ^ x ) ) = 1 | : arscin( √( e ^ x ) )

y = 1 / arcsin( √( e ^ x ) )

f ^ -1 (x) = 1 / arcsin( √( e ^ x ) )

Dafür kann man auch schreiben -->

f ^ -1 (x) = 1 / arcsin ( e ^ (x / 2)), weil √(..) = (...) ^ (1 / 2) ist

Hier wird das Ergebnis bestätigt --> http://goo.gl/Q3iBhx

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Antwort
von JonasV, 15

Du musst y=ln(sin^2(1/x)) nach x auflösen. Erster schritt wäre e^y=sin^2(1/x). Danach die Wurzel. Wurzel(e^y)=sin(1/x). Danach arcsin auf beide seiten. Arcsin(Wurzel(e^y))=1/x. Daraus folgt x=g(y)=1/[Arcsin(Wurzel(e^y))]. Jetzt musst du gucken, für welche Werte von y dieser ausdruck sinnvoll ist. e^y ist für alle y sinnvoll. Da e^y immer positiv ist, kann man auch die wurzel daraus ziehen. Auch ist Wurzel(e^y) immer ungleich 0, weswegen arcsin(wurzel(e^y)) auch ungleich 0 ist. Also kann man 1/Arcsin(...) machen. Allerdings ist der Arcsin nur für Werte von [-1,1] definiert. Das heißt du hast -1<= Wurzel(e^y)<=1. Also e^y<=1 und damit y<=0.
Der Arcsin=sin^(-1). Also die Umkehrfunktion des Sinus.

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