Frage von MarkMoser123, 15

Wie muss ich den Parameter t wählen (Lage Gerade Ebene), damit Gerade und Ebene parallel sind oder Schnittpunkt haben?

Hallo, ich habe die Ebene E: x+2y-2z=9 und die Gerade g: x= (110)+ s×(t01) gegeben und soll sagen für welches t beide Parallel sind und wie t sein muss, damit es einen Schnittpunkt gibt. Dann soll ich den Abstand für diese Fälle bzw. den Schnittpunkt in abhängigkeit von t angeben. Ich habe die Gerade eingesetzt und nach s aufgelöst, das gibt s= 6/(t-2) . Jetzt muss ich ja durch t entweder einen Widerspruch, oder eine wahre Aussage erzeugen und weiß nicht, wie ich das hier machen kann. Würde mich über eine Antwort freuen und bedanke mich schon mal im Voraus

Antwort
von Melvissimo, 8

Erst mal ganz naiv: g und E liegen parallel (oder g liegt in E), wenn der Normalenvektor von E und der Richtungsvektor von g senkrecht aufeinander stehen. Berechne also den Normalenvektor von E, berechne den Richtungsvektor von g, berechne das Skalarprodukt der beiden und bestimme, wann das Skalarprodukt 0 wird (i.e. bei welchem t die Gerade und die Ebene parallel liegen).

Wann immer die Gerade nicht parallel zur Ebene liegt, schneiden sich die beiden. D.h. für alle t, für die das Skalarprodukt nicht 0 wird, kannst du einen Schnittpunkt berechnen. Falls deine Rechnung korrekt ist, erhältst du den Schnittpunkt, indem du in der Geradengleichung das s durch ein 6/(t-2) ersetzt.

Übrigens legt die Gleichung "s = 6/(t-2)" nahe, dass es für t = 2 keinen Schnittpunkt gibt, denn dann ist 6/(t-2) nicht definiert. Nur als kleine Probe für die Rechnung mit dem Skalarprodukt ;)

Kommentar von MarkMoser123 ,

Vielen dank, da t ja nicht 2 werden darf dachte ich mir schon, dass es da keinen Schnittpunkt gibt :-) hat mir sehr geholfen und schwer wars ja eigentlich auch nicht

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