Frage von Lincalm, 51

Wie muss ein mathematischer Beweis aussehen?

Was muss alles ein mathematischer Beweis beinhalten? Reicht ein Widerspruch zur bisherigen Annahme oder vielleicht, gänzlich eine andere Methode/ Formel?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von claushilbig, 12

Um eine Annahme zu widerlegen, genügt ein einziges Gegenbeispiel - damit ist ja eindeutig gesagt, dass die Behauptung nicht in allen Fällen gilt.

Um aber eine Annahme zu beweisen, gibt es zahlreiche verschiedene Verfahren - und vor allem gibt es viele Beweise, die keinem expliziten Verfahren folgen.

In der Regel geht es beim Beweis immer darum, aus bekannten (bewiesenen) Tatsachen schrittweise andere Tatsachen zu folgern und so schließlich zur Behauptung zu kommen.

--------------

Beispiel für ein Standard-Verfahren ist die "vollständige Induktion", das man z. B. Im Zusammenhang mit Folgen und Reihen anwenden kann. Sie besteht immer aus zwei Schritten:

  1. Man zeigt: es gibt ein Element der Folge, für das die Behauptung stimmt - das geht oft durch einfaches Nachrechnen beim ersten Element.
  2. Man zeigt: wenn die Behauptung für irgendein Element der Folge gilt, dann gilt sie sicher auch für das folgende Element der Folge - der Schritt ist meist der Schwierigere.

Aber z. B. in der Geometrie kann man damit meist wenig anfangen. Hier muss man meist bekannte Sätze sinnvoll kombinieren, um daraus einen neuen Satz zu folgern. Z. B. benötigt man für den Beweis des "Satz von Thales" die Sätze über die Winkelsumme im Dreieck und über gleichschenklige Dreiecke, aber dafür gibt es kein "Standard-Verfahren". Welche Sätze man im konkreten Fall benötigt, muss man oft durch Phantasie und Intuition erkennen.

Zumindest bei den "großen" Beweisen ist das oft eine komplizierte Suche, für die man außer Phantasie und Intuition auch noch sehr umfassende Kenntnisse braucht. So musste Andrew Wiles z. B. für seinen Beweis der "großen Fermatschen Vermutung" (die seitdem "Großer Fermatscher Satz" heißen darf) erst einmal eine Reihe von Vermutungen aus scheinbar vollkommen andern Teilgebieten der Mathematik beweisen - die Idee muss man erst mal haben ...

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 31

Das kommt darauf an.
Mit dem Nachweis eines einzelnen Nichttreffers kannst du eine Behauptung zu Fall bringen.
Umgekehrt geht es nicht, da musst du schon eine richtige Beweisführung veranstalten.

Unter den Mathematikern gibt es dann noch zwei Sorten,
die Formalisten und die Intuitionisten.
Formalisten sehen einen Beweis als geführt an, wenn alles andere ausgeschlossen werden kann. Intuitionisten bestehen darauf, dass alle Beweise durchgeführt werden müssen, selbst wenn das Gegenteil völlig selbstverständlich ist.

Vereinfacht gesagt: Wenn du sagst, zwischen 1 und 3 liege nur eine gerade Zahl, würde es dem Fomalisten genügen, seinem Kollegen aber nicht, denn es könnte doch sein, dass sich da noch eine gerade Zahl aufhielte, die man nur noch nicht kenne.

Antwort
von FreshD7, 20

Ja Widerspruch oder besser Induktion wenns ums verallgemeinern geht

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten