Frage von MartiniHarper, 154

Wie mache ich hier den vollständigen Induktionsbeweis?

Hallo,

ich bekomme den letzten Schritt nicht hin.

Egal was ich tue, es ist nicht richtig.

Vielleicht ist aber schon zuvor ein Fehler aufgetreten..

Habe die Aufgabe und meinen bisherigen "Erfolg" als Bild hochgeladen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Stnils, 68

Du hast geschrieben, dass du auf

1-1/(n+1)! + (n+1)/(n+2)! 

kommst. 

Ich mache da weiter:

= 1 + (-n - 2) / (n+2)! + (n+1) / (n+2)!

= 1 - 1/(n+2)!

Kommentar von MartiniHarper ,

Keine Ahnung was du hier jetzt gemacht hast..

Kommentar von Stnils ,

Der Bruch 1 / (n+1)! ist äquivalent zu dem Bruch (n+2) / (n+2)! , weil mit (n+2) erweitert wurde.

Die negativen Vorzeichen oben kommen daher, da der Bruch eigentlich subtrahiert wird, ich aber mit dem Inversen addiert habe. Ich dachte so wird es deutlicher.

Kommentar von MartiniHarper ,

Wie berechnet man sowas: (n+1)! * (n+2) ?

Sowas muss man ja erstmal wissen & wie man dies berechnet ist mir ein Rätsel.

Kommentar von Stnils ,

Du kannst ja zur Vorstellung Zahlen einsetzen:

n! ist für n = 3 : n! = 3*2*1

Wenn du nun n+1, also 4 multiplizierst kommst du auf: n!*(n+1)
= 3*2*1*4 = (n+1)!

Das könnte man nun auch wieder durch vollständige Induktion allgemein beweisen.

Kommentar von MartiniHarper ,

Okay. Aber das erklärt mir nicht das Ergebnis von
(n+1)! * (n+2)

Kommentar von Stnils ,

Wo siehst du denn da bitte den Unterschied? n+1 ist eine natürliche Zahl und n+2 ist deren Nachfolger.

Wähle meinetwegen in meinem Beispiel oben n = 2. Dann hast du deine Erklärung zu (n+1)! * (n+2).

Kommentar von MartiniHarper ,

Ich würde ja theoretisch dies rechnen: 
(n+1)! * (n+2)

=

n!*n+n!*2+2

Kommentar von Stnils ,

Mit dem ausmultiplizieren anzufangen ist viel zu umständlich. Damit würdest du die Faktoren n+1 und n+2 zusammenfassen.

Ich würde mir an deiner Stelle nochmal genau überlegen was Fakultät bedeutet und was passiert wenn du den Nachfolger einer natürlichen Zahl n mit der Fakultät n! multiplizierst.

Z.B. 5! * 6 = 6! , weil 6! eben gleich 6*5*4*3*2*1 ist.

Was anderes ist es mit dem n+1 und n+2 oben nicht nur, dass dort Variablen stehen. Wichtig ist, dass n+1 eine natürliche Zahl ist und n+2 deren Nachfolger.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 31

Bevor du dich an die vollständige Induktion machst, musst du aber erst mal die Fakultät begreifen. Ich versuche es auch noch mal.

n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n -1) * n            Das ist die Definition

Das gilt auch für die nächste Zahl (n+1):

(n + 1)! = 1 * 2 * 3 * ... * (n -1) * n * (n + 1)        einfach eine weiter

Jetzt kannst du ja die Klammer bis n zusammenfassen

(n + 1)! = [ (1 * 2 * 3 * ... * (n -1) * n) ]  * (n + 1)

Was in den eckigen Klammern steht, ist n!
Also gilt

(n + 1)! = n! * (n + 1)

Dasselbe kannst du auch mit der nächsten Zahl (n + 2) machen.

Antwort
von Bezibaer7, 79

Beim Induktionsschritt musst du zunächst aus der Summe bis n+1 eine Summe bis n machen:

Die Summe über n ist dann die gleiche und du addierst (n+1)/(n+1+1) dazu...

Die Summe über n kannst du nach Induktionsvorraussetzung umschreiben...dann noch bissl ausmultiplizieren und umformen und dann ist's fertig

Kommentar von MartiniHarper ,

Genau da hapert es

Antwort
von YStoll, 74

"Splitte" die Summe: von 1 bis n und dann den Wert für n+1.

Dann ersetze die Summe nach der Induktionsannahme. Du erhälst:
1-1/(n+1)! + (n+1)/(n+2)! = 1 - 1/(n+2)!

Beachte, dass (n+2)! = (n+1)! * (n+2) und die Aufgabe sollte kein Problem sein.

Kommentar von MartiniHarper ,

1-1/(n+1)! + (n+1)/(n+2)!

Darauf komme ich auch. Ich kann es anscheinend nicht vereinfachen..

Kommentar von Reesh ,

Erweitere doch einfach -1/(n+1)! mit (n+2).

Dann hast du -(n+2)/(n+2)! und kannst (n+1)/(n+2)! dazu addieren.

Kommentar von MartiniHarper ,

Wie berechnet man bitte (n+1)! * (n+2) = (n+2)! ?

Sowas muss man ja erstmal wissen. Wie kommst du auf sowas?

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