Frage von Micla7, 37

Wie loest man sin(2x)−√3cos(2x)=0?

Wie loest man folgende Gleichung: sin(2x)−√3 cos(2x)=0 Im Intervall 0 < x < pi/2

Vielen Dank schon mal... Die Loesungen sind laut Buch pi/3, 5pi/6, 4pi/3,11pi/6

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Die Gleichung lautet: sin(2x)−√3 * cos(2x) = 0 im Intervall [0; π/2[

Wichtig hierbei sind die folgenden Komplementbeziehungen:

              sin x
tan x =  ——— ⇔ sin x = tan x * cos x
              cos x

Die Gleichung ist nun folgendermaßen aufzulösen:

sin(2x) − √3 * cos(2x) = 0       |+√3 * cos(2x)
sin(2x) = √3 * cos(2x)
tan(2x) * cos(2x) = √3 * cos(2x)      |:cos(2x)
tan(2x) = √3
2x = tan⁻¹(√3)
x = tan⁻¹(√3)/2 ≈ 0,5236

Schaffst du die weiteren Lösungen für x im Intervall alleine? ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von WeicheBirne, 25

Dazu mußt Du wissen, daß Sinus geteilt durch Cosinus den Tagens ergibt, also

sin(α)/cos(α) = tan(α)


Deine Gleichung kann man also erst einmal folgendermaßen umformen

sin(2x)−√3 cos(2x)=0

sin(2x) = √3 cos(2x)

sin(2x)/cos(2x) = tan(2x) = √3

Jetzt den Arkustangens nehmen

2x = arctan(√3)

x = arctan(√3)/2


arctan(√3) = π/3 also gilt

x = π/6



Wegen tan(α) = tan(α + k*π), wobei k eine ganze Zahl ist, gibt es aber noch folgende weitere Lösungen für x

 x = (arctan(√3) + k*π) /2 

= arctan(√3)/2 + k*π/2 

= π/6 + k*π/2


Jetzt müssen wir prüfen ob die auch noch im Intervall            0 < x < π/2 liegen

Für k=1

x = π/6 + π/2 = π/6 + 3π/6 = 4π/6 = 2π/3

Das ist allerdings schon größer als π/2, also keine Lösung mehr im geforderten Intervall.

Für k=-1

x = π/6 - π/2 = π/6 - 3π/6 = -π/3

Das liegt auch außerhalb des geforderten Intervalls.



Die einzige Lösung ist

x = π/6

Probe durch Einsetzen

sin(2 π/6)−√3 cos(2 π/6)

= 0.866025404 - 1.732050808 * 0.5

= 0.866025404 - 0.866025404

= 0



Warum Dein Buch andere Lösungen angibt, ist mir nicht klar. Die Lösungen im Buch stimmen aber nicht.

Probe durch Einsetzen für x = π/3

sin(2 π/3)−√3 cos(2 π/3)

= 0.866025404 - 1.732050808 * (-0.5)

=  0.866025404 + 0.866025404

= 1.732050808

Kommentar von Willy1729 ,

Möglicherweise soll Pi/3 das Argument in den Klammern sein:

2x=Pi/3

x=Pi/6

Das wäre aber eine sehr schlampige Lösungsangabe und gehörte so nicht in ein Mathebuch.

Kommentar von WeicheBirne ,

Hm... stimmt, das könnte sein. 

Mir ist noch aufgefallen, daß

5 π/6, 4 π/3 und 11 π/6

gar nicht im Intervall 0 < x < π/2 liegen.

Oder wenn, wie Du vermutest, schon mit 2 multipliziert wurde, dann liegen zumindest

4 π/6 und 11 π/12

nicht im geforderten Intervallbereich.

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