Frage von Annieken, 153

wie löst man Optimierungsuafgaben?

Die Aufgabe: a) Es soll ein rechteckiger Stall entstehen, man hat dafür 16,8m Zaun, auf einer Seite grenzt der Stall an eine Hauswand (also braucht man da keinen Zaun) wie lang müssen die Seitenlängen sein um eine größtmöglicher Fläche zu haben?) b)wie berechnet man das wenn der Zaun an zwei Flächen angrenzt (auch wieder die Frage: wie groß müssen die Seitenlängen sein um eine möglichst große Fläche zu haben?)?

Schonmal danke für die Hilfe

Antwort
von Roderic, 101

Ohne zu rechnen:

Wenn man solche Aufgaben öfter mal gemacht hat, dann weiß man irgendwann mal, daß diese immer auf eine quadratische Funktion hinauslaufen, deren Maximum zu bestimmen ist.

Quadratische Funktion haben die überaus nützliche Eigenschaft, daß der Scheitelpunkt der Parabel...

immer genau in der Mitte

...zwischen den beiden Nullstellen liegt - wie nett von den Parabeln.

Wenn die Kante a (die eine lange) 16.8m lang wäre und die beiden Seitenkanten b jeweils 0m, dann wäre die Fläche 0m². (Nullstelle1)

Wenn die Kante a 0m lang wäre und die beiden Seitenkanten b jeweils 8.4m, dann wäre die Fläche ebenfalls 0m². (Nullstelle2)

Und das erspart dir die ganze Rechnerei.

Messerscharf geschlußfolgert:

a muss 16.8m/2 lang sein also 8.4m - die beiden Seitenkanten b demzufolge 4.2m.

Antwort
von Monsieurdekay, 97

Diese Aufgaben funktionieren immer nach dem selben Prinzip.

Du musst 1. eine Haupbedingung aufstellen: Das ist die Funktion der Größe, die optimiert werden soll, also in dem Fall die Fläche.

Danach musst du 2. eine Nebenbdingung aufstellen, die beschreibt, wie die Variablen zusammenhängen, die in deiner Hauptbedingung vorkommen.

Diese Nebenbedingung musst du nach einer Variablen auflösen und diese Gleichung entsprechend in die Hauptbedingung einsetzen...

Hauptbedingung:

f(x,y)=x*y           (x:=Länge, y:=Breite)

Nebenbdedingung:

x+2y=16,8m

nach x umgestellt:

x=-2y+16,8m

in Hauptbedingung einsetzen:

f(y)=y*(-2y+16,8m)

jetzt hast du eine Funktion, die nur noch von y abhängt und da kannst du jetzt den Extremwert berechnen bzw. den Scheitelpunkt der Parabel (je nachdem, wie weit du bist)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 64

Hallo,

der Zaun hat links und rechts von der Mauer zwei gleichlange Seiten plus eine dritte, die die beiden ersten zu 16,8 m ergänzt.

Das führt Dich zu der Gleichung 2a+b=16,8.

Die Fläche eines Rechtecks berechnet man über a*b.

Wenn Du die erste Gleichung nach b auflöst, bekommst Du b=16,8-2a

Dies setzt Du in die zweite Gleichung ein:

a*(16,8-2a)=A (die Fläche, die möglichst groß sein soll).

Die Zielfunktion lautet also f(a)=16,8a-2a².

Um das Maximum herauszufinden, setzt Du f'(a)=0:

16,8-4a=0

4a=16,8

a=4,2

Dann ist b=8,4 (es muß die beiden Seiten a schließlich zu 16,8 ergänzen.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 57

a) 2x+y=16,8

b) x+y=16,8   nach y auflösen und in A einsetzen

A=x•y    ableiten oder Scheitelform bilden.

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