Wie löst man in dieser Funktion nach "x" auf?

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4 Antworten

f(x) = (e ^ x) * (x ^ 3 + 5)

Das kann du umschreiben zu -->

f(x) = (x ^ 3 + 5) * e ^ x

Die verallgemeinerte Form sieht so aus -->

f(x) = u(x) * e ^ v(x)

u(x) und v(x) sind Funktionen von x

Die Ableitung davon lautet -->

f´(x) = (u´(x) + u(x) * v´(x)) * e ^ v(x)

Herleiten kann man das mit der Produktregel und der Kettenregel, aber wenn man nicht die Absicht hat es sich jedes mal von neuem, immer und immer wieder erneut herzuleiten, merkt man es sich stattdessen einfach.

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f(x) = (x ^ 3 + 5) * e ^ x

u(x) = x ^ 3 + 5

v(x) = x

u´(x) = 3 * x ^ 2

v´(x) = 1

Zur Erinnerung --> f´(x) = (u´(x) + u(x) * v´(x)) * e ^ v(x)

f´(x) = (3 * x ^ 2 + (x ^ 3 + 5) * 1) * e ^ x

Das kann man noch vereinfachen -->

f´(x) = (x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5) * e ^ x

Dasselbe Prinzip wendet man erneut an, um die 2-te Ableitung zu berechnen.

u(x) = x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5

v(x) = x

u´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * x

v´(x) = 1

f´´(x) = (3 * x ^ 2 + 6 * x + (x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5) * 1) * e ^ x

Das kann man noch vereinfachen -->

f´´(x) = (x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 6 * x + 5) * e ^ x

Nun wendet man das Prinzip wieder an, um die 3-te Ableitung zu berechnen.

u(x) = x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 6 * x + 5

v(x) = x

u´(x) = 3 * x ^ 2 + 12 * x + 6

v´(x) = 1

f´´´(x) = (3 * x ^ 2 + 12 * x + 6 + (x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 6 * x + 5) * 1) * e ^ x

Das kann man noch vereinfachen -->

f´´´(x) = (x ^ 3 + 9 * x ^ 2 + 18 * x + 11) * e ^ x

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Der Übersichtlichkeit halber listen wir alles noch einmal auf -->

f(x) = (x ^ 3 + 5) * e ^ x

f´(x) = (x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5) * e ^ x

f´´(x) = (x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 6 * x + 5) * e ^ x

f´´´(x) = (x ^ 3 + 9 * x ^ 2 + 18 * x + 11) * e ^ x

Wenn es Hoch- und Tiefpunkt gibt, dann liegen sie dort, wo die 1-te Ableitung Nullstellen hat.

Deshalb berechnen wir die Nullstellen der 1-ten Ableitung.

(x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5) * e ^ x = 0

Merksatz --> Ein Produkt wird dann Null, wenn eines seiner Faktoren Null wird.

e ^ x wird niemals Null, können wir deshalb ignorieren.

x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5 könnte Null werden, das müssen wir untersuchen.

x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5 = 0

Hierzu führen wir eine Hilfsfunktion h(x) ein -->

h(x) = x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5

Nun stellen wir die Wertetabelle zu h(x) auf.

Damit du weist was Wertetabellen sind, schaue mal hier -->

https://www.youtube.com/results?search_query=wertetabelle+erstellen

x | h(x)

-10 → -695
-9 → -481
-8 → -315
-7 → -191
-6 → -103
-5 → -45
-4 → -11
-3 → 5
-2 → 9
-1 → 7
0 → 5
1 → 9
2 → 25
3 → 59
4 → 117
5 → 205
6 → 329
7 → 495
8 → 709
9 → 977
10 → 1305

Anhand dieser Wertetabelle erhält man ein paar Schlussfolgerungen -->

1.) Es gibt keine Nullstellen für h(x) an ganzzahligen Stellen für x

2.) Es gibt einen Vorzeichenwechsel zwischen x = -4 und x = -3, deshalb liegt dazwischen eine Nullstelle.

3.) Da der Absolutwert von h(x) an der Stelle x = -3 kleiner ist, als an der Stelle x = -4, deshalb liegt die Nullstelle dichter an x = -3 als an x = -4

4.) Es gibt wahrscheinlich nur diese eine reelle Nullstelle zwischen x = -3 und x = -4

Da die Nullstelle an einer nicht-ganzzahligen Stelle für x liegt, empfiehlt es sich das Newton-Verfahren anzuwenden.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Das Newtonverfahren läuft folgendermaßen ab -->

1.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= x - h(x) / h´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x ist das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.

Man braucht also die Funktion, die erste Ableitung der Funktion und einen geeigneten Startwert.

Als Startwert hatten wir x = -3 ausfindig gemacht.

Nun müssen wir noch die 1-te Ableitung von h(x) berechnen -->

h(x) = x ^ 3 + 3 * x ^ 2 + 5

h´(x) = 3 * x ^ 2 + 6 * x

Mit dem Startwert x = -3 erhalten wir nach 6 Iterationen den Wert x = -3.425988757361622

An dieser Stelle könnte sich ein Tiefpunkt, ein Hochpunkt, oder ein Sattelpunkt deiner Funktion f(x) = (x ^ 3 + 5) * e ^ x befinden.

Das ist aber noch kein Punkt, sondern erst ein halber Punkt.

Ein vollständiger Punkt besteht immer aus einer x-Komponente und einer y-Komponente.

Um die y-Komponente zu berechnen setzen wir x = -3.425988757361622 in die Funktion f(x) = (x ^ 3 + 5) * e ^ x ein, und erhalten -->

f(-3.425988757361622) = -1.1449990049557074626

Punkt (-3.425988757361622 | -1.1449990049557074626)

Dort kann ein Tiefpunkt, ein Hochpunkt oder ein Sattelpunkt liegen, das wissen wir noch nicht ! Um das herauszufinden, müssen wir die Nullstelle x der 1-ten Ableitung f´(x) in die zweite Ableitung einsetzen !

Zur Erinnerung --> f´´(x) = (x ^ 3 + 6 * x ^ 2 + 6 * x + 5) * e ^ x

f´´(-3.425988757361622) = 0.476579412220394991

Das ist > 0 (größer als Null), deshalb handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Wäre es < 0 (kleiner als Null) gewesen, dann hätte es sich um einen Hochpunkt gehandelt.

Wäre es = 0 (gleich Null) gewesen, und wäre gleichzeitig f´´´(-3.425988757361622) ≠ 0 (ungleich Null) gewesen, dann hätte es sich um einen Sattelpunkt gehandelt.

Fazit -->

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Tiefpunkt (-3.425988757361622 | -1.1449990049557074626)

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Kommentar von LadyBell98
20.02.2016, 17:06

WOW.. du hast dir soo viel Mühe gegeben und es ist alles so verständlich *-* , ich bin dir sooo dankbar! vielen, vielen lieben Dank!!!!! Da kommt nie im Leben mein Lehrer ran! :D

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Hallo,

e^x leitet sich immer auf sich selbst ab, das macht die Sache einfacher.

Dann brauchst Du nur noch die Ableitung von x³+5, welche 3x² lautet.

So bekommst Du nach der Produktregel (u*v)'=u'*v+u*v' und u=u'=e^x,
v=x³+5, v'=3x²:

e^x*(x³+5)+e^x*3x²

Jetzt e^x ausklammern:

f'(x)=e^x*(x³+3x²+5).

Da e^x niemals Null wird, bleibt nur noch der Ausdruck in der Klammer übrig.

Es gibt zwar die Cardanischen Formeln, mit deren Hilfe Nullstellen von Funktionen dritten Grades bestimmt werden können; die möchtest Du aber nicht anwenden. Google mal Cardanische Formeln, dann weißt Du auch, warum.

Bleibt das Raten einer Nullstelle, also das probehalbe Einsetzen der üblichen Verdächtigen -3,-2,-1,0,1,2,3 für x und sehen, was passiert. Werte größer oder gleich Null kannst Du gleich vergessen, mit solchen kann das Ding gar nicht Null werden, bleiben noch -3,-2,-1.

-3 geht nicht, -2 auch nicht, ebensowenig -1, -4 kannst Du auch vergessen und alles darunter sowieso.

Bleibt ein Näherungsverfahren oder der Taschenrechner, dem ich in diesem Falle den Vorzug geben würde.

Meiner sagt: x1=-3,425988757, x2 und x3 sind komplexe Zahlen.

Wenn Du dies nach dem Newton-Verfahren berechnen möchtest, überlegst Du anhand einer Wertetabelle, wo sich in etwa eine Nullstelle befinden könnte und setzt diesen Wert als Ausgangswert in folgende Gleichung ein:

x(n+1)=xn-p(xn)/p'(xn) n, bzw. n+1 sind einfach Indizes von x.

Ich nenne x³+3x²+5 mal p(x)

p'(x) ist dann 3x²+6x

Wenn Du mit xn=-3 anfängst, ist x(n+1), also der nächste Ausgangswert =-3,255. Der nächste Wert wäre -3,442, dann -3,426, womit Du Dich der Nullstelle schon hinreichend genau genähert hast.

Tipp: Tabellenkalkulation.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von LadyBell98
20.02.2016, 13:57

Vielen Dank! aber warum wird, wenn man das x ausklammert, die klammer von (x^3+5) gelöst? Also warum lautet der nächste Schritt nicht f'(x)=e^x*((x^3+5)*3x^2) ?

1
Kommentar von LadyBell98
20.02.2016, 14:04

ohhhh tut mir leid ich hab es verstanden, vielen vielen Dank!!!

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E^x mal 3x (Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten und Konstanten fallen weg)

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Du kennst die Produktregel: (u*v)'=u'*v+u*v'

Du erhältst als Ableitung ein Produkt mit den Faktoren e^x und eines Polynoms dritten Grades.

Du kennst die hinreichende Bedingung für Extrema.

Du weißt, dass e^x nie Null wird, also das Polynom Null sein muss.

Du wendest die Polynomdivision oder das Horner-Schema an und rechnest wie gewohnt weiter.

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