Frage von ITanfaenger93, 39

wie löst man folgende gleichungen auf x³ = 3x^(1/3) oder 2x = x^(2/3)?

ich weiß wie man solche x^(1/3) ableitet oder auch integriert, aber ich hab grad echt keinen blassen schimmer wie man diese auflöst? Könnt ihr mir da mal helfen?:/

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 19

Hallo,

Du kannst auch das Potenzgesetz a^m/a^n=a^(m-n) nutzen.

Bei x^3=3*x^(1/3) teilst Du beide Seiten durch x^(1/3), indem Du den Exponenten 1/3 auf beiden Seiten abziehst:

Dann bekommst Du x^(3-1/3)=3*x^(1/3-1/3)=3*x^0=3

x^(3-1/3)=x^(8/3)

x^(8/3)=3

x=3^(3/8) (Die 3 wird einfach mit dem Kehrwert des Exponenten von x potenziert; links heben sich die Exponenten auf, denn x^(8/3*3/8)=x.)

3^(3/8)=1,509803648

Bei der zweiten Aufgabe gehst Du entsprechend vor:

2=x^(2/3-1)=x^(-1/3)

x=2^(-3)=0,125

Natürlich gibt es für beide Gleichungen auch noch die triviale Lösung x=0, die durch Ausklammern von x leicht zu ermitteln ist.

Herzliche Grüße,

Willy


Kommentar von Wechselfreund ,

Gelöscht! (vertan...)



Antwort
von Ticktacktokk, 14

Und falls du's vergessen hast: "x^(2/3)" kann auch als "dritte Wurzel aus x^2" geschrieben werden. Ich schreib "2. Wurzel aus x" mal provisorisch als 2.W.(x)

Also x^3 = 3x^(1/3)

              = 3.W(3x)    |^3

        x^9 = 3x             |/x

        x^8 = 3   und dann mit Taschenrechner die 8. Wurzel aus x ziehen.

Bin mir aber nicht sicher, berichtigt mich gerne! Vielleicht will x ja auch garnicht gefunden werden...


Kommentar von Zwieferl ,

Falsch! Der 3er wird auch potenziert!

Kommentar von Ticktacktokk ,

Stimmt, dankeschön! Es heißt ja 3 mal x^(1/3) und nicht (3x)^1/3, daher steht die 3 eigentlich auch nicht unter der Wurzel :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 4
  1.      x³ = 3x^(1/3)         | umformen 
         x³ = 3 * ³√x           | ³
         x⁹ = 27 * x            | /x                           x ≠ 0
         x⁸ = 27                 | 8. Wurzel ziehen
         x  = ⁸√27
         x  ≈ 1,509
  2.      2x = x^(2/3)         | umformen
         2x = ³√x²              | ³
        8x³ = x²                 | /x²                          x ≠ 0
        8x  = 1                  | /8
          x  = ⅛
  3. Als triviale Lösung käme in beidem auch x = 0 in Frage. Doch ich vermute, hier sollen keine Funktionen betrachtet werden.
Kommentar von Zwieferl ,

Die Division durch die Variable verändert die Lösungsmenge und ist nicht erlaubt (weil es eine Division durch 0 ist).

x⁹-27x=0 → x·(x⁸-27)=0 → x₁=0 v x₂= ⁸√27

analog beim zweiten Beispiel!

Kommentar von Volens ,

Meist ist es sehr nützlich, Texte komplett zu lesen.

Kommentar von Zwieferl ,

Sorry, hab das bei meiner direkten Antwort erst bemerkt, dass das in diesem Fall ja doch geht und nicht mehr daran gedacht, dass ich vorher schon (in diesem Fall falschen) Kommentar abgab.

Kommentar von Volens ,

OK
:-)

Antwort
von Vaultdoor101, 27

Potenzier mal beide Gleichungen so, dass die Wurzeln wegfallen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 13

auf beiden Seiten hoch 3

x^9 = 3³ • x

x^9 - 27x=0

x(x^8 - 27)=0   Nullproduktsatz

x1=0

x^8 = 27

x2= 8.wurzel(27)

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