Frage von Nic24, 93

Wie löst man folgende Gleichung, dass zumindest eine reelle Lösung herauskommt?

Gleichung: x³=-1

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 25

Darf ich auch mal?

x³ = -1    | ³√
x  = -1

Antwort
von Rubezahl2000, 36

x=-1 ist eine reelle Lösung :-)

Antwort
von kreisfoermig, 18

Alle, die mit ∛–1 antworten haben nicht ausführlich argumentiert bzw. verstehen nicht, wie die Dinge funktionieren. Die Funktion ∛:ℝ→ℝ berechnet zwar die reelle 3. Wurzel von Zahlen, es hilft uns aber nicht zu wissen, wie sie lautet (außer man verwendet einen Taschenrechner, aber das ist Schummeln). Um ∛–1 zu berechnen, muss man schlichtweg

x³ = –1,  x∈ℝ

nach x lösen. Da (–1)³ = –1 und –1∈ℝ, ist x=–1 eine Lösung.

Ist sie aber eindeutig?

Man erkennt |–1|=1 und Arg(–1)=π. Des Weiteren gilt 1³=1, so dass alle Lösungen in ℂ zu x³ = –1 der Form

x = 1·exp(ι(2πk+π)/3),  k∈{0,1,2}.

sind. In der Tat sind das alle 3 eindeutigen Lösungen. Man rechnet aus

Lösungen = {exp(ιπ); exp(ιπ/3); exp(–ιπ/3)}
= {–1; (1+ι√3)/2; (1–ι√3)/2}.

Somit ist klar, dass die –1 eine eindeutig reelle Wurzel von –1 ist.

Kommentar von kreisfoermig ,

Alternativ berechnet man die anderen Nullstellen von X³–(-1) wie folgt:

(X³–(-1))/(X–(-1)) = (1–(-X)³)/(1–(-X))
= 1+(-X)+(-X)²
= 1 – X + X²

Dies löst man wie mans üblicherweise für Polynome 2. Grades macht und erhält die restlichen Nullstellen:

x = (1±ι√3)/2.

Darum gilt x³ = –1 gdw. x³ – (-1) = 0 gdw. x ∈ {–1; (1±ι√3)/2}.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathematik, 54

Hier kannst du doch die dritte Wurzel ziehen:

x=(-1)^(1/3)

x=-1

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