Frage von Araragiza, 43

Wie löst man eine Variable aus hohen Potenzfunktionen?

Hallo, ich habe über die Ferien ein paar Matheaufgaben zu Extremalproblemen bekommen. Bei einer Aufgabe habe ich folgende Formel für x aufgestellt: 4x^6 - 3x^4 + 90x^2 = 25 Hab zwar mit dem Taschenrechner alle 6 Lösungen rausgekriegt, allerdings hab ich vergessen, wie es schriftlich geht. Was muss ich machen? Ausklammern? Polynomdivision? Wäre nett, wenn mir das Jemand vorrechnen könnte.

LG Araragiza

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 21

Die Gleichung ist offensichtlich äquivalent zu 

4x^6 - 3x^4 + 90x^2 - 25 = 0.

Da hier nur gerade Exponenten auftreten, erscheint es sinnvoll, erst einmal zu substituieren. Ersetze also x² durch z:

4z³ - 3z² + 90z - 25 = 0.

Nun kann man versuchen, eine Nullstelle zu erraten und dann Polynomdivision betreiben.

Leider sind die Nullstellen dieses Polynoms gar nicht mal so leicht zu erraten. Da das Polynom aber Grad 3 hat (und nicht Grad 5 oder höher), gibt es eine Lösungsformel dafür: https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Antwort
von ProfFrink, 20

Mit einer Substitution u=x^2 kannst Du aus einer Gleichung 6. Grades schon mal eine kubische Gleichung machen. Diese könnte auf direktem Wege aufgelöst werden. Ist aber recht kompliziert.

Aber da Du schon mit dem Taschenrechner alle 6 Lösungen hast, vermute ich dass da auch ein paar ganzzahlige Lösungen dabei sind, die die weitere schriftliche Ausarbeitung erleichtern. Es müssten bei dieser Art von Gleichung jeweils "symmetrische" Lösungpaare herausgekommen sein der Art (-a, +a) . Du kannst dann daher gehen und Dein Polynom durch einen Term des Formats (x^2 - a^2) teilen und landest dann bei den quadratischen Gleichungen, die schon keine Mühe mehr machen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

substituieren u=x²

4u³-3u²+90u-25=0   eine Nullstelle raten, Polynomdivision usw

Antwort
von MatheDelfin, 7

Substitution & Lösungsformel.

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