Frage von kevinhal, 27

Wie löst man eine homologe Differentialgleichung 2. Ordnung bei der es sich eigentlich um eine DGL 1. Ordnung handelt?

Guten Abend, Ich habe eine Frage zur 'Schreibweise' für eine homologe Differentialgleichung. Ich bin gerade eine Aufgabe am lösen, bei der ich das Fundamentalsystem für y''(x) - ((x+2)/(x+1))y'(x) = 0 finden soll für alle x > -1. Unter der Aufgabe steht nun der Hinweis, dass es sich eigentlich um eine Differentialgleichung erster Ordnung für y' handelt. Heisst das nun, dass ich eine Ableitung quasi ausklammern und die Gleichung für y(x) lösen kann, und danach einfach von dem Resultat die Stammfunktion bilden, da es ja eigentlich für y'(x) gilt? Ich bin mir leider nicht sicher, wie ich diesen Hinweis richtig anwenden kann und wäre um einen Tipp sehr dankbar! Liebe Grüsse

Antwort
von eterneladam, 7

Schreibe y' = z, dann suchst du die Lösung von z' - (x+2)/(x+1) z = 0.

Die Lösung solcher Gleichungen hat oft mit der Exponentialfunktion zu tun. Ich versuche, den Term (x+2)/(x+1) als innere Ableitung einer Exponentialfunktion zu erhalten.

Es ist (x+2)/(x+1) = 1 / (x+1), integriert gibt das x + ln(x+1)

Nun versuchte ich als Lösungsansatz z(x) = exp( x + ln(x+1) ) = exp(x) (x+1)

1) z'(x) = exp(x) (x+1) + exp(x) = exp(x) (x+2) (Produktregel)

2) (x+2)/(x+1) z = (x+2)/(x+1) exp(x) (x+1) = exp(x) (x+2)

(1) - (2) = 0, passt also!

Nun musst du noch z integrieren, um y zu erhalten.

y = exp(x) x

Kommentar von kevinhal ,

herzlichen Dank, das hilft viel!

Kommentar von eterneladam ,

Gerne, ist übrigens noch ein Tippfehler drin, muss heissen

"Es ist (x+2)/(x+1) = 1 + 1 / (x+1), integriert gibt das x + ln(x+1)"

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