Frage von Jonas7531999, 144

Wie löst man diese Gleichung mit X im Exponent und "unten"?

Hallo,
Hat jemand eine Ahnung wie man die Gleichung 200*X+500=10*2^X löst?
Ich meine, die Unbekannte ist einmal im Exponent und "unten".
Wie macht man das?

Antwort
von Schachpapa, 20

Erstmal die ganze Gleichung durch 10:

20x+50 = 2^x

Das kannst du zeichnerisch lösen, indem du die Funktion 2^x zeichnest und die Schnittpunkte mit der Geraden 20x+50 suchst. Daraus kannst du aber allenfalls ein Ergebnis abschätzen, weil du die Zeichnung nicht genau genug hinkriegst.

Oder du machst es mit einem Näherungsverfahren, Newton würde sich anbieten. Du fängst mit einem Startwert x0 an und berechnest den nächsten Wert nach der Formel x1 = x0 - f(x)/f '(x)

f(x) = 2^x - 20 x + 50 =  e^(x ln(2)) - 20 x - 50

f '(x) = ln(2) * e^(x ln (2)) - 20

Das machst du so lange, bis sich das Ergebnis nicht mehr ändert (bei vorgegebener Genauigkeit). Die Tabelle habe ich mit Excel bzw. LibreOffice Calc erzeugt.

x              f(x)                 f'(x)           x - f(x)/f'(x)
-2,5   0,1767766953   -19,8774677321  -2,4911066793
-2,4911066793  3,3656324589515E-006 -19,8767100637 -2,49110651
-2,49110651  0 -19,8767100492 -2,49110651

7,5 -18,9806640162 105,473042364 7,6799574905
7,6799574905 1,4686963666 122,1421994005 7,667933011
7,667933011 0,0071030574 120,9624054385 7,6678742898
7,6678742898 1,6845450545588E-007 120,9566680423 7,6678742884
7,6678742884 0 120,9566679063 7,6678742884

Mit den Startwerten -2,5 und 7,5 kommst du jeweils in 3 bis 5 Schritten auf 8 Stellen nach dem Komma.

Oder du hast einen der modernen grafischen Taschenrechner (Casio fx-20 oder TI-nspire). Da gibst du die Gleichung ein und er spuckt dir die Lösung aus.

Oder du benutzt http://www.WolframAlpha.com

Aber zu Fuß? Vielleicht gibt dir dein Lehrer ja die Lösung "irgendwie mit e-Funktion". Schätze hier gibt es mindestens drei, die das gerne wissen wollen ;-)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 57

Ich würde zuerst einmal

20x - 2^x + 50 = 0

daraus machen, und dann die Nullstelle am Graphen ablesen:

x1 = ca. -2,491
x2 = ca. 7,668

Du kannst natürlich auch versuchen, die Nullstelle zu erraten - eine numerische Lösung wüsste ich jetzt aber nicht.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Jonas7531999 ,

Kann man das gar nicht rechnerisch lösen?

Kommentar von Willibergi ,

Doch, tatsächlich - aber ich glaube, das ist für Schüler nichts:

http://www.directupload.net/file/d/4340/6pa53cm3\_jpg.htm

LG Willibergi

Kommentar von kepfIe ,

Das "W" ist die Lambertsche W-Funktion, quasi die Umkehrfunktion von x * e^x, wobei es da aber keine numerische Lösung gibt. Ist mir in der Uni jetzt auch noch nicht über den Weg gelaufen, das scheint wohl Master- oder gar Dissertationsmaterial zu sein.

Kommentar von Willibergi ,

"wobei es da aber keine numerische Lösung gibt."

Naja, zumindest kann die Lösung rekursiv annäherungsweise bestimmt werden.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 70

das geht nicht; höchstens mit Annäherungsverfahren.

Kommentar von Jonas7531999 ,

Mein Lehrer meinte, das gehe irgendwie mit einer e- Funktion, sei aber außerschulischer Stoff

Kommentar von Willy1729 ,

Dein Lehrer meinte wohl die Lambertsche W-Funktion, die Umkehrfunktion von f(x)=x*e^x.

Näheres hier:

http://kilchb.de/faqmath3.php

Willy

Kommentar von Willibergi ,

Nennt sich Produktlogarithmus, ist aber nicht wirklich etwas für Schüler. ;)

LG Willibergi

Kommentar von chaostheorie314 ,

Außerdem ist es auch nur eine Verschiebung des Problems der analytischen (rechnerischen) Lösung, denn der Produktlogarithmus ist ja auch nicht analytisch berechenbar.

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