Frage von klasf, 24

Wie löst man diese Aufgabe: Zwölf Zahlen bilden eine Arithmetische Folge. Die Summe der beiden Mittelglieder ist 37, das Produkt von Anfangs-und Schlussglied..?

Hi

Wie löst man diese Aufgabe?

Zwölf Zahlen bilden eine Arithmetische Folge. Die Summe der beiden Mittelglieder ist 37, das Produkt von Anfangs-und Schlussglied ist 70. Gesucht sind die ersten die ersten Glieder.

Meine Idee:

a_1+4d+a_1+5d= 37

a_1*(a_1+11d)=70

(man erhält die Umformung a_1+4d von a_5 aus_ a_n=a_1+(n-1)*d für arithmetische Folgen).

Dies ergibt jedoch nicht die richtige Lösung von: 35, 32, 29 bzw. 2, 5, 8.

thx

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 10

Hallo,

die Folge hat die allgemeine Form a+(n-1)*d

Dann gilt: a+5d+a+6d=37, also 2a+11d=37

2a=37-11d; a=18,5-5,5d

Die andere Gleichung ergibt sich aus dem Produkt von Anfangs- und Endglied:

a*(a+11d)=70 

Einsetzen von (18,5-5,5d) für a:

(18,5-5,5d)*(18,5-5,5d+11d)=70

(18,5-5,5d)*(18,5+5,5d)=70

Jetzt die dritte binomische Formel anwenden:

18,5²-(5,5d)²=70

342,25-30,25d²=70

30,25d²=272,25

d²=9

d=3

a=18,5-5,5*3=2

Also lautet die Folge 2+(n-1)*3

Das fünfte und sechste Glied ist die 17 und die 20, macht zusammen 37;

das erste und das letzte Glied sind 2 und 35. 2*35=70

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von klasf ,

Danke, warum sind die beiden Mittelglieder das 5. und das 6. Glied, gibt es eine allgemeine Regel auf die das beruht?

Kommentar von Willy1729 ,

Die beiden mittleren Glieder sind das sechste und das siebte, denn bei 12 Gliedern insgesamt folgen auf das siebte noch fünf Glieder und vor dem sechsten sind es auch fünf.

Für die Formel mußt Du aber jeweils eine 1 abziehen - jedenfalls, wenn das Anfangsglied als a1 bezeichnet wird.

Beim Anfangsglied wird ja noch nichts addiert in der Folge. Erst das zweite Glied setzt sich aus a1+dem Summanden zusammen.

Die vorliegende Folge fängt bei 2 an. Das nächste Glied erhält man, wenn man zum vorigen 3 addiert. 

Du rechnest a1=2+(1-1)*3=2.

a2=2+(2-1)*3=5. a3=2+(3-1)*3=8. a4=2+(4-1)*3=11 usw., bis Du bei a12=2+(12-1)*3=35 angelangt bist.

Die 3 wird also so oft zum Anfangsglied 2 addiert, wie es der Nummer des Folgengliedes minus 1 entspricht.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von GrobGeschaetzt, 13

Ich glaube, dein Fehler liegt in der ersten Gleichung:

a_1+4d ist das 5. Glied. Die beiden Mittelglieder bei 12 Zahlen sind aber das 6. und 7. Das heißt in deiner ersten Gleichung müsste es demnach a_1+5d+a_1+6d= 37 heißen

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