Frage von metalhead998, 26

Wie löst man diese Aufgabe von Kepler?

Hallo,

ich weiß, das ist vielleicht eine dumme Frage, aber wir hatten das noch nicht in der Schule und ich kenne mich gerade nicht aus.

Es gibt ja die Formel C=T²/a³. Und C ist ja bei allen Körpern, die um die Sonne kreisen, konstant. Sie soll 2,97×10^(-19) s²/m³ sein.

Wenn ich aber das z.B. bei der Erde mache und 365²/(150×10^6)³ rechne, bekomme ich aber das mit den 2,97×10^(-19) nicht heraus. 

Was verstehe ich falsch? Bei allen Planeten muss ja da das gleiche rauskommen, oder?

Ich hoffe, es kann jemand helfen.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Physik, 13

Bitte, gewöhnt euch an, Einheiten mit dazuzuschreiben! Die Einheit gehört zu einer Größe ebenso wie die Zahl.

Dann würdest du sehen, dass du die 3 * 10^(-19) s^2 / m^3 in der Einheit (Tag^2) / (km^3) bekommst.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 3

PWolff hat Recht, Du darfst nicht die Zahlenwerte für sich nehmen. Sie erhalten erst durch die Maßeinheiten ihre Bedeutung, und eine andere Maßeinheit bedeutet einen anderen Zahlenwert. Beispielsweise sind 90km/h = 25m/s, weil

1ms = (1/1000)km/(1/3600)h = (3600/1000)km/h = 3,6km/h

ist.

Wenn Du C in den SI-Einheiten haben willst, musst Du die Entfernungs- und Zeitangaben in SI-Einheiten umrechnen:

  • Die große Halbachse der Erdbahn muss also in Metern und nicht in Kilometern angegeben werden, also kommen etwa 150×10⁹m = 1,5×10¹¹m heraus.
  • Die Zeit muss nicht in Tagen (das sind übrigens nicht genau 365, sondern etwas mehr, deshalb gibt es ja Schaltjahre), sondern in Sekunden gemessen werden, und das sind ganz grob √{10}×10⁷s.

Das Quadrat der Zeit ist also etwa 10¹⁵s², und die dritte Potenz von der großen Halbachse ist 3,375×10³³m³ ≈ ⅓×10³⁴m³, und der Quotient ist ganz grob

(1/⅓)×10¹⁵⁻³⁴s²/m³ = 3×10⁻¹⁹s²/m³,

was Deiner Vorgabe von 2,97s²/m³ ziemlich nahe kommt.

Natürlich ist diese Konstante C sonnenspezifisch. 

Für Kreisbahnen r=a kann man sie sich aus der Gleichsetzung der Newton'schen Gravitationsfeldstärke 

(1.1) g = G·M/r²

mit der Zentripetalbeschleunigung

(1.2) a.z = ω²r = (4π²/T²)·r,

was

(2.1) G·M/r² = (4π²/T²)·r    ⇔   T²/r³ = 4π²/G·M = C

ergibt. Dabei ist

M ≈ 2×10³⁰kg                Sonnenmasse

G ≈ ⅔×10⁻¹⁰m³/kg·s²    Gravitationskonstante


⇒ G·M ≈ ⁴/₃×10²⁰m³/s²

Ersetzt man zur Überschlagsrechnung noch π² durch den Näherungswert 10, dann erhält man etwa

(2.2) 40/(⁴/₃×10²⁰m³/s²) = 30×10⁻²⁰s²/m³ = 3×10⁻¹⁹s²/m³,

genau den Wert, den wir oben errechnet haben.

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