Frage von julian801, 53

Wie löst man die untenstehende Exponentionalgleichung Gleichung?

Exponentialgleichung lösen.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 4

wir setzen a=10*x ergibt 25â - 2 *5^(a+2) + 625=0

Potenzgesetze ,siehe Mathe-Formelbuch a^r * a^s=a^(r+s)

und a^r * a^r=(a *a)^r

5â *5â - 2 * 5â * 5^2 + 625=0 setzen z= 5â 

z^2 - 50 * z + 625 =0 dies ist eine quadratische Gleichung mit nullstelle bei z=25 

z=25=5â=5^(10*x) logarithmiert ergibt ln(25)= ln(5^(10x)=10*x * ln(5)

siehe Mathe-Formelbuch Logarithmengesetze log(a^x)=x *log(a)

10*x= ln(25)/ln(5) ergibt x=ln(25)/(ln(5) * 10)=0,2

Probe : 25^(10*0,2) - 2 *5^(10*0,2+2) + 625 =0 

Antwort
von poppunkprincess, 31

Habt ihr schon Logarithmen durchgenommen? Das wäre nämlich mein erster Gedanke...

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 19

Das ganze ist ziemlich tricky zu lösen, und alleine wäre ich auch nicht drauf gekommen.


Wolfram Alpha sagt:

Gleichung umformen:

(5^(5x)-5)²*(5+5^(5x))²=0

Satz vom Nullprodukt anwenden:


(5^(5x)-5)²=0

5^(5x)-5=0 | +5

5^(5x)=5 | log

5x*log(5)=log(5) | /log(5)

5x=1 <=> x=1/5

oder

(5+5^(5x))²=0

5+5^(5x)=0 | -5

5^(5x)=-5 ---> in IR nicht lösbar.


Die Lösung ist also 1/5.


Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 8

du kannst dafür schreiben:

(5^10x)²- 2 • 5^10x • 5² + 5^4 = 0 dann siehst du die 2. Binomische Formel;

(5^10x - 5²)² = 0

also 5^10x = 5²   Exponentenvergleich ergibt:

also 10x = 2

x = 1/5

Antwort
von lks72, 9

Subsituiere y := 5^(10x), dann hast du

y^2 - 2 * y * 25 + 625 = 0.

Dies ist eine quadratische Gleichung für y, die man einfach lösen kann.

Antwort
von YStoll, 13

Tipps:

a^(b+c) = a^b * a^c

(a^b)^c = a^(b*c) = (a^c)^b

Substituiere 5^(10x).

Ich hoffe du kannst quadratische Gleichungen lösen.
Wenn du damit ein bisschen herumspielst solltest du die Gleichung vereinfacht und nach x umgestellt bekommen.

Vergiss das Resubstituieren nicht.

Antwort
von bishare, 30

Dafür brauchst du den Logarithmus und die Potenzgesetze

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