Frage von Bebop1337, 40

Wie löst man die Gleichung 37=36,5+x*e^(-0,1x)?

Ich komme am Ende auf das:

(-10) * ln(0,5/x) = x

Danach komme ich nicht mehr weiter. Wie löst man hier auf?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 26

37 = 36.5 + x * e^(-0.1 * x) |-36.5

1 / 2 = x * e ^ (-0.1 * x)

x = 1 / (2 * e ^(-0.1 * x))

x = e ^ (0.1 * x) / 2

und

x = ln(2 * x) / 0.1

Iteration -->

Startwert --> x = 0

x = e ^ (0.1 * 0) / 2

x = 1 / 2

x = e ^ (0.1 * 1 / 2) / 2

x = 0.525635548

x = e ^ (0.1 * 0.525635548) / 2

x = 0.526984772

x = e ^ (0.1 * 0.526984772) / 2

x = 0.527055879

x = e ^ (0.1 * 0.527055879) / 2

x = 0.527059627

x = e ^ (0.1 * 0.527059627) / 2

x = 0.527059824

Brechen wir hier mal ab, Näherungswert für die erste Nullstelle x _ 1 = 0.52706

Startwert --> x = 40

x = ln(2 * 40) / 0.1

x = 43.82026635

x = ln(2 * 43.82026635) / 0.1

x = 44.73243593

x = ln(2 * 44.73243593) / 0.1

x = 44.93846055

x = ln(2 * 44.93846055) / 0.1

x = 44.98441191

x = ln(2 * 44.98441191) / 0.1

x = 44.99463208

x = ln(2 * 44.99463208) / 0.1

x = 44.99690376

x = ln(2 * 44.99690376) / 0.1

x = 44.99740863

x = ln(2 * 44.99740863) / 0.1

x = 44.99752083

x = ln(2 * 44.99752083) / 0.1

x = 44.99754576

x = ln(2 * 44.99754576) / 0.1

x = 44.9975513

x = ln(2 * 44.9975513) / 0.1

x = 44.99755253

Brechen wir hier mal ab, Näherungswert für die zweite Nullstelle x _ 2 = 44.99755

Zusammenfassung der Näherungswerte -->

x _ 1 = 0.52706

x _ 2 = 44.99755

Kommentar von DepravedGirl ,

Die exakteren Wert sind -->

x _ 1 = 0.5270598355154634 nach 13 Iterationen

x _ 2 = 44.99755288523487 nach 23 Iterationen

Kommentar von Bebop1337 ,

Vielen dank für die antwort! Ist das die einzige Lösungsmöglichkeit?

Kommentar von DepravedGirl ,

Schaue mal bei dem nach, was slutangel22 geschrieben hat.

Es gibt noch mehr Verfahren, slutangel22 hat das Newton-Verfahren schon erwähnt, damit geht es auch.

Explizit ausrechnen lässt es sich nicht, weil es sich nicht direkt nach x auflösen lässt.

Kommentar von Bebop1337 ,

Wie heißt das Verfahren, welches du verwendet hast? :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Fixpunktiteration -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Das Newton-Verfahren ist oftmals besser, allerdings muss man dann die 1-te Ableitung berechnen.

Kommentar von fjf100 ,

Tangentenverfahren nach Newton x2=x1 - (f(x1) / f´x1))

hier ist x1 der Schätzwert und x2 der verbesserte Wert,der dann wieder in die Formel eingesetzt wird.

oder Sehnenverfahren nach "Regula Falsi" 

x3= x2 - (x2-x1) / (y2-y1) * y2 mit x2>x1 Nullstelle muss zwischen x2 und x1 liegen

x3 ist dann der verbesserte Wert 

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 8

0= - 0,5 + x * e^(-0,1 *x) = -0,5 + x/ e^(0,1 *x)

Mit normalen Mitteln ist diese Aufgabe nicht lösbar ,weil x nicht alleine auf eine Seite gebracht werden kann.

Lösung mit meinen Graphikrechner (Casio),solltest dir auch einen zulegen !!

Nullstellen bei x1= 0,527 und x2= 44,99 Maximum bei xmax= 10 y=3,178

Nullstellenermittlung in Handarbeit mit der Näherungsformel nach Newton

x2=x1 - (f(x1) / f´(x1) ) hier ist x1 der Schätzwert,der nahe an der Nullstelle liegt und x2 ist der verbesserte Wert,der wieder in die Formel eingesetzt wird.

Das Verfahren wird so oft wiederholt,bis die Genauigkeit ausreicht.

Eine weitere Näherungsformel ist die nach "Regula Falsi"

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 7

Alles mit x*e^(x....) kann mit der Umkehrfunktion LambertW berechnet werden

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

§6 mit p=0 und h=1 ist genau Dein Fall:

37=36,5+x*e^(-0,1x)

37=365/10+x*e^(-x/10) |-365/10

(37-365/10)=x*e^(-x/10)|/(-10) <---- §6

(365/100-37/10)=(-x/10)*e^(-x/10)|Substitution u=(-x/10)

u=LambertW(n,(365/100-37/10)) | Rück-Subst.

-x/10=LambertW(n,365/100-37/10)|*(-10)

x=-10*LambertW(n,-1/20) mit n=-2...1

gute Rechner wie der dort unten im LINK (Umkehrfunktionen Rechner) können das: siehe Bild

Die anschließende Multiplikation mit -10 kann man im Kopf:

x1=51.814272658519547669641169 +72.32315605151520934150963049 i 

x2=44.99755288523487535974733258419

x3=0.5270598355154634795995650617921

x4=51.8142726585195476696411698-72.32315605151520934150963049 i

...

Antwort
von slutangel22, 40

Auch einfach aussehende Probleme können schwierig sein. Zum Beispiel Gleichungen der form

x * e^x = a

Traurig, aber wahr: Es gibt keine geschlossene analytische Darstellung für x. Natürlich könnte es trotzdem eine Lösung geben, man kann ja zum Beispiel einfach mal den Graphen von f(x) = x*e^x - a zeichnen und schauen, wo der seine Nullstellen hat. Statt "schauen" kann man auch mathematische Methoden nehmen, die zum Bereich der Numerik gehören. Das wäre jetzt aber vielleicht etwas too much.

Kommentar von Bebop1337 ,

Den Punkt ablesen kann ich. Mich würde aber interessieren, wie man hier weiter auflöst.. Kannst du mir vlt nen Link zu diesem Thema schicken, falls es dir nichts ausmacht? :)

Kommentar von slutangel22 ,

Zieh dir mal das hier rein: https://www.scai.fraunhofer.de/fileadmin/ArbeitsgruppeTrottenberg/SS06_duis/kap5...

Stichworte:

* Newton-Verfahren 

* Besektionsverfahren

* Sekantenverfahren

* ...

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