Frage von emilie1D, 14

Wie löst man diese Matheaufgabe mit einer quadratischen Ergänzung?

2x^-11x-6=0 mit einer quadratischen ergänzung? ^ bedeutet hoch 2 Bitte die schritte sagen. Das ergebnis soll x=-0,5 oder x=6 sein. Bitte keine pq-Formel.

Antwort
von ProfFrink, 14

Hallo emilie,

1. Schritt: Normalisieren. Das x^2 soll ohne Vorfaktor da stehen. Das erleichtert alle Folgeschritte.

x^2  -  11/2 x  - 3 = 0

2. Den Platz für das konstante Glied auf der linken Seite frei räumen, weil dort die quadratische Ergänzung aufgenommen werden soll. Es wird auf beiden Seiten 3 addiert.

x^2  -  11/2 x  +  ...... = 3

Dort wo die Pünktchen sind wird nun die quadratische Ergänzung addiert. Das muss auf der linken Seite aber auch auf der rechten Seite geschehen, damit es eine Gleichung bleibt und nichts Falsches notiert wird. Die Kunst besteht nun darin die quadratische Ergänzung genau so zu wählen, dass die linke Seite so aussieht, als käme der Ausdruck aus der Ausrechnung einer binomischen Formel der Art (x - a)^2. Die Regel lautet: Nehme die Hälfte vom linearen Vorfaktor und quadriere das. Hälfte von 11/2 ist 11/4. Das Quadrat lautet 121/16, was nun auf beiden(!) Seiten zu addieren ist.

x^2  -  11/2 x  +  121/16 = 3+121/16

Nun ist der Ausdruck genügend vorbereitet um die linke Seite über die binomische Formel in ein einzes Quadrat zu überführen.

(x - 11/4)^2 = 3+121/16

Nun erst gelingt die weitere Auflösung durch Wurzelziehen auch wieder auf beiden Seiten

x -  11/4  = +/- Wurzel( 3 + 121/16)      Vorzeichenvielfalt der Wurzel beachtet

Nebenrechnung 3 + 121/16 = 48/16 + 121/16 = 169/16

Wurzel(169/16) = +/- 13/4

x - 11/4  = +/- 13/4

Erste Lösung  x = 11/4 + 13/4 = 24/4 = 6

Zweite Lösung x = 11/4 - 13/4 = - 2/4 = -1/2 

Kommentar von emilie1D ,

Dankeschön🙌🏽 hat mir sehr geholfen:)

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