Frage von johndoe2601, 133

Wie löse ich meine Mathe Hausaufgaben?

Ich verstehe meine Hausaufgaben nicht, kann mir jemand ein bisschen helfen. Es ist analytische Geometrie.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 25

Hallo,

die Ebenengleichung erhältst Du, wenn Du einen der drei Punkte - etwa A - als Stützpunkt nimmst. Die beiden Richtungsvektoren bekommst Du durch die Rechnung B-A und C-A

So bekommst Du die Parameterform (1/0/0)+s*(-1/3/2)+t*(1/2/-2)

Diese wandelst Du in die Koordinatenform um, indem Du den Normalenvektor der Ebene bestimmst. Du bekommst ihn über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren: (-1/3/2)x(1/2/-2)=(-10/0/-5). Wenn Du ihn durch -5 teilst, bekommst Du eine handlichere Form: (2/0/1).

Die Koordinaten des Normalenvektors entsprechen bekanntlich den Vorfaktoren von x, y und z der Koordinatengleichung der Ebene.

So lautet die Koordinatenform: 2x+z=2 (Die 2 bekommst Du,
indem Du Punkt A in die Gleichung einsetzt, also 2*1+0*0+0*1 und das Ergebnis ausrechnest.

Ich benutze übrigens aus alter Gewohnheit x, y und z anstatt x1, x2 und x3; also nicht verwirren lassen.

Wenn Du diese Ebene an der yz-Ebene spiegelst, mußt Du nur die x-Koordinate mit umgekehrtem Vorzeichen verwenden. Den Rest kannst Du unverändert lassen:

F: -2x+z=2

Der Normalenvektor ist hier natürlich (-2/0/1)

Der Winkel zwischen diesen Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den Normalenvektoren. Den bekommst Du über die Gleichung
Phi=arccos{[(2/0/1)*(-2/0/1)]/[|(2/0/1)|*|(-2/0/1)|]

Du teilst also das Produkt der Normalenvektoren durch das Produkt ihrer Beträge. Das Ergebnis ist der Kosinus des Winkels zwischen den beiden:

-3/5 arccos(-3/5)=126,87°

Das wäre dann auch ein möglicher Drehwinkel, mit dem man Ebene E auf Ebene F abbilden könnte.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von johndoe2601 ,

Herzlichen Dank! Hast sehr gut und ausführlich erklärt. Wäre schön gewesen, wenn du die Nr. 2.2 noch gemacht hättest.

Kommentar von Willy1729 ,

Die hatte doch PWolff schon beantwortet.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 21

2.1.a):

λ_1 * x_1 + λ_2 * x_2 + λ_3 * x_3 = d

hier für x_1, x_2, x_3 die Punktkoordinaten einsetzen und auf kleinste ganze Zahlen skalieren

Darstellung: siehe darstellende Geometrie - das solltet ihr geübt haben

2.1.b):

Was bedeutet Spiegelung an der x_2-x_3-Ebene für die einzelnen Koordinaten? Wie transformieren sie sich?

Diese Transformation auf eine Ebenengleichung für E anwenden

Wie stellt man allgemein eine Drehung um eine Achse (insbesondere Koordinatenachse) als Drehmatrix dar?

Drehmatrix * (gewählter Punkt auf E, nicht auf Drehachse) = (zu ermittelnder Punkt auf F) nach dem Winkel der Drehmatrix auflösen

2.2.a):

Welche Bedingung müsste ein a erfüllen, damit die Richtungsvektoren parallel sind? (in der Bedingung muss a nicht selbst auftauchen, wenn z. B. 1 = 2 rauskommt, kann kein a diese Bedingung erfüllen, wenn z. B. 2 = 2 und 5 = 5 rauskommt, erfüllt jedes a diese Bedingung)

Den allgemeinen Punkt (x_1 | x_2 | x_3) in beide Geradengleichungen einsetzen, x_1, x_2, x_3 eliminieren, nach t, r und a auflösen

λ_1 * x_1 + λ_2 * x_2 + λ_3 * x_3 = d

hier x_1, x_2, x_3 durch die Geradengleichung ausdrücken

Berücksichtigen, dass r und a beliebige reelle Zahlen sind; insbesondere z. B. a_1 = 1 und a_2 = 2 bei festem r gewählt werden kann, dann Differenz der entstehenden Gleichungen bilden => λ_3; insbesondere, dass r so gewählt werden kann, dass die Faktoren von λ_1 bzw. λ_2 0 werden => λ_2 bzw. λ_1

2.2.b):

Abstand zweier Geraden solltet ihr im Unterricht berechnet haben; diesen Abstand (oder sein Quadrat, wenn das ein einfacherer Ausdruck ist) als Funktion von a auffassen und mit Differentialrechnung oder Scheitelpunkt einer Parabel das Extremum bestimmen

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 24

bis wann musst du das erledigen und was kannst du selber dazu beitragen?

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community