Frage von Hellsluke, 21

Wie löse ich folgende Funktion auf?

Also ich bereite mich gerade auf das Abitur vor und hänge an einer Aufgabe,
0,3 = 0,5(1-e^(-1x/20))-1/420 x Ich wäre hier für einen Ansatz oder einen rechen Weg sehr dankbar. Aus den Lösungen kann ich entnehmen das es zwei Möglichkeiten gibt ein mal x= 25,6 und einmal x=80,2 jeweils gerundet

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 20

Vielleicht hilft dir die Lambertsche W-Funktion bei der Lösung. (Müsste man sich einarbeiten)

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche\_W-Funktion#Verallgemeinerungen

Bei 5 = e^(x) - x würde sich ergeben:

e^x = (x + 5)
x = 5 - W(-e^5)

(Nur flüchtig übertragen)

Kommentar von Suboptimierer ,

Nächster Versuch: x = -5 -W(-e^(-5))

Antwort
von Kesselwagen, 20

Hallo,

naja ne Lösung im Sinne von dass da am Ende x = ... steht habe ich nicht finden können. Habe das in WolframAlpha eingegeben, dort wird das anscheinend auch numerisch gelöst.

Kannst das ja, falls ihr das schon hattet, mit dem Newton-Verfahren approximieren.

Wir bringen die Gleichung auf eine Seite:

  • 0.2 - 0.5 e^(-x/20) - x/420 = 0

Bilden die erste Ableitung

  • f'(x) = 1/40 e ^(-x/20) - 1/420

und iterieren an einem beliebigen Näherungspunkt, x_n = 50.

Dann ist x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Das liefert die erste Nullstelle, 

  • x_n1 ≈ 80.19010194

Und wählen wir noch nen zweiten x_n Punkt = 20: Und erhalten

  • x_n2 ≈ 25.59366259

---

LG. Kesselwagen

Anm.: Bild zeigt analytische Lösung durch WolframAlpha, wobei W_n den Produktlogarithmus (Lambertsche W-Funktion) bezeichnet.

Kommentar von Hellsluke ,

Super vielen Dank, uns großes Lob an die Qualität der Antwort. Ich kenne das Verfahren nicht, aber es spricht ja nichts dagegen sich das anzugucken

Kommentar von Kesselwagen ,

Sehr gerne. Auf jedem Fall lohnt sich das, da das Verfahren auch gar nicht schwer ist - einmal ableiten und dann alles schön einsetzen im Taschenrechner. So weit iterieren (wiederholen) bis das Ergebnis stabil ist.

Das Newton-Verfahren funktioniert leider nicht bei allen Funktionen - aber bei den meisten.

Antwort
von Wechselfreund, 12

Also ich bereite mich gerade auf das Abitur vor

Womit übst du? Kann soetwas überhaupt drankommen??? Viele Verlage bieten "Übungsmaterial" an, dass gar nicht auf die Unterrichtsinhalte abgestimmt ist. Oder Schüler bearbeiten CAS Aufgaben, obwohl für sie GTR vorgesehen ist...

Kommentar von Hellsluke ,

Ich habe mit einer abiturklausur von 2012 ht1 geübt

Kommentar von Wechselfreund ,

GTR oder CAS? Stand da bestimmen Sie oder berechnen Sie?

Antwort
von Hellsluke, 21

Mir würde es auch reichen wenn jemand 5=e^(x) - x auflöst, nur damjt ich das Schema sehe

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