Frage von 1Genius, 22

Wie löse ich eine partialbruchzerlegung?

4x^3/(x-1)(x^2+1)^2

Als summe stelle ich den term als: A/(x-1)+(Bx+C)/(x^2+1)+(Dx+E)/(x^2+1)^2 dar

Ich scheitere am Koeffizientenvergleich. Danke schon im vorraus

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 22

zuerst mußt Du die allgemeine Form mit den 3 Brüchen wieder auf den Hauptnenner bringen, dann den Zähler ausmultiplizieren und die Koeffizienten sortieren (die jeweiligen x^? ausklammern).
Dann stellst Du Deine Gleichungen für jede Potenz auf (von x^4 bis x^0);
also Klammer vor dem jeweiligen x ist gleich der Koeffizient des Ausgangszählers, d. h. jede Gleichung ist =0, außer die Klammer vor x³, die ist =4.
Somit hast Du 5 Gleichungen mit 5 Unbekannten...

Kommentar von 1Genius ,

danke jetzt hab ich das Prinzip wieder verstanden

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathematik, 14

Ansatz:

4x³ / [ (x-1)(x²+1)² ] = 

A / (x-1) + (Bx+C) / (x²+1) + (Dx+E) / (x^2+1)²

Ergebnis:

1 / (x-1) + (-x+3) / (x²+1) + (2x-2) / (x²+1)²

Rechnung:

4x³ = A(x²+1)² + (x-1)(x²+1)(Bx+C) + (x-1)(Dx+E),

4x³ = A(x^4+2x²+1)+(x³-x²+x-1)(Bx+C)+Dx²-Dx+Ex-E,

4x³ = Ax^4+2Ax²+A+Bx^4-Bx³+Bx²-Bx+Cx³-Cx²+Cx-C+Dx²-Dx+Ex-E,

4x³ = (A+B)x^4+(-B+C)x³+(2A+B-C+D)x²+(-B+C-D+E)x+(A-C-E)

Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

A+B = 0,

-B+C = 4,

2A+B-C+D = 0,

-B+C-D+E = 0,

A-C-E = 0,

in Matrixform:

1   1   0   0   0   |   0
0  -1   1   0   0   |   4
2   1  -1   1   0   |   0
0  -1   1  -1   1   |   0
1   0  -1   0  -1   |   0

Wenn du nun mit dem Gauß-Algorithmus löst, dann erhälst du

A = 1, B = -1, C = 3, D = 2, E = -2

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