Frage von JanyoOoO, 45

Wie löse ich diese Quatratische Gleichung?

Hallo, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Für die Berlin-Fahrt einer Schulklasse berechnet ein Busunternehmen insgesamt 2310 Euro an Fahrtkosten. Diese Fahrtkosten wurden auf alle Teilnehmer gleichmäßig umgelegt. Da am Abreisetag 2 Schüler durch Krankheit ausfielen, erhöhte sich der Fahrpreis für die übrigen Personen bei gleichen Gesamtkosten um jeweils 2.25 Euro. a) Wie viele Personen fuhren wirklich mit? b) Wie hoch war der wirkliche Fahrpreis für jeden Einzelnen?

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand die Gleichung erklären würde, da ich einfach keine aufgestellt bekomme. Vielen Danke im Voraus

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von iokii, 23

Wenn x die Anzahl an Leuten ist, die ursprünglich mitfahren sollten und y der Ursprungspreis ist, dann bedeutet der erste Satz 2310/x=y. Der 2. Satz bedeutet nichts. Der 3. Satz bedeutet 2310/(x-2)=y+2.25 .

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 10

Erst mal würde ich Formelzeichen einführen:

Bekannte Größen:
Gesamtpreis.………………P = 2310 €
Ausgefallene Mitfahrer……∆n = 2
Mehrkosten pro Person..…∆p = 2,25 €

Gesuchte Variablen:
Anzahl der Mitfahrer.…n
Kosten pro Person……p

P = n·p = (n+∆n)·(p–∆p) = n·p + p·∆n – n·∆p – ∆n·∆p
0 = p·∆n – n·∆p – ∆n·∆p = (P/n)·∆n – n·∆p – ∆n·∆p |·n
0 = P·∆n – n²·∆p – n·∆n·∆p
n² + n·∆n = P·∆n/

Das ist schon mal unsere quadratische Gleichung, die sich durch die quadratische Ergänzung (∆n)²/4 lösen lässt:

n² + n·∆n + (∆n)²/4 = (n + ∆n/2)² = P·∆n/∆p + (∆n)²/4
n = –∆n/2 ± √{P·∆n/∆p + (∆n)²/4} = –1 ± √{(18489)/9} ≈ –1 ± 45,3,

wobei das Minuszeichen natürlich ausscheidet. Unschön ist, dass keine ganze Zahl herauskommt, denn das macht den Zusatzbetrag unrealistisch. Geht man von n=44 aus, so müsste er eigentlich ∆p = 2,28€ sein, bei n=45 2,18€. Schließlich kann es keine gebrochenen Mitfahrerzahlen geben.

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