Frage von ViviMel, 42

Wie löse ich diese Gleichung ohe TR?

10^x = 3. Wurzel aus 100

Ich habe keine Ahung, wie man diese Gleichung OHNE TASCHENRECHNER!! lösen soll, muss es aber können hahah.. Wäre lieb, wenn mir das jemand erklären könnte! Vielen Dank schon einmal und liebe Grüße Vivi :)

Antwort
von chakajg, 20

10^x=³√100                |100=10²
10^x=³√10²                 |Potenzgesetz ³√10²=10^2/3
10^x=10^2/3               |ln()
ln(10^x)=ln(10^2/3)    |Logarithmengesetz ln(x^a)=a*ln(x)
x*ln(10)=(2/3)*ln(10)  |:ln(10) bzw. kürzen
x=2/3

LG

Kommentar von Willy1729 ,

Den Umweg über den ln kannst Du Dir sparen.

Wenn 10^x=10^(2/3) ist, dann ist x=2/3.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von chakajg ,

Ja, aber so hat man es ordentlich hergeleitet ^^

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathe, 4

Das kannst du nicht können müssen!
Die Quadratwurzel ist klar, weil man direkt qudrieren kann.

So ist es aber auch mit der 3. Wurzel. Von einem Schüler kann man erwarten, dass er/sie
³√64    = 4    und
³√125  = 5
lösen kann und dann aus dem Kopf sagt, das Ergebnis von ³√100 liege zwischen 4 und 5. Aber mehr kann man füglich nicht erwarten.
Man könnte noch auf 4,5 tippen ("irgendwo in der Mitte"), aber dann ist es auch gut.

Antwort
von kepfIe, 30

100=10^2, dann log10(...) rumlegen, der sich sofort wieder auflöst, x=2/3

Kommentar von ViviMel ,

Danke für die Antwort! Aber ich verstehe ein paar Sachen immer noch nicht ganz.. Und zwar 1. Wie kommst du denn von meiner Gleichung auf die zweite? Und 2. Wie löse ich einen Logarithmus ohne Taschenrechner?

Kommentar von kepfIe ,

1. Ich hab nur die 100 in der Gleichung umgeschrieben. Ich machs gleich unten nochmal ausführlich.  

2. log_a(a^x)=x  

Und hier der ganze Rechenweg:  

10^x = 3. Wurzel aus 100  

10^x = 100^(1/3)  

10^x = (10^2)^(1/3)  

10^x = 10^(2/3)  

log_10(10^x) = log_10(10^(2/3))  

x = 2/3

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