Frage von sveaneymarlove, 73

Wie löse ich diese Gleichung (Logarithmus etc)?

Ich stehe gerade total auf dem Schlauch, ich weiß einfach nicht mehr wie ich das lösen soll.
Wäre so lieb wenn mir das einer von euch erklärt
Danke!

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

2 * 4 ^ x - 4 ^ (2 - x) - 14 = 0

Dafür kannst du auch schreiben -->

2 * 4 ^ x - 4 ^ 2 / (4 ^ x) - 14 = 0

2 * 4 ^ x - 16 / (4 ^ x) - 14 = 0

Nun kannst du diese Gleichung mit 4 ^ x multiplizieren -->

2 * 4 ^ (2 * x) - 14 * 4 ^ x - 16 = 0

Nun kannst du substituieren -->

z = 4 ^ x

2 * z ^ 2 - 14 * z - 16 = 0 | : 2

z ^ 2 - 7 * z - 8 = 0

Das löst du mit der pq-Formel (Google !)

z _ 1 = - 1

z _ 2 = 8

Nun folgt die Rücksubstitution, da z = 4 ^ x ist, deshalb ist x = ln(z) / ln(4)

Die Rücksubstitution muss man sowohl mit z _ 1 als auch mit z _ 2 machen.

x _ 1 = ln(-1) / ln(4)

x _ 2 = ln(8) / ln(4) = 1.5

x _ 1 ist ein Ergebnis in den komplexen Zahlen, nur x _ 2 ist ein Ergebnis in den reellen Zahlen !

Antwort
von Roach5, 34

Wir bemerken, dass 4^(2-x) = 16/(4^x), also haben wir:

2 * 4^x - 16/(4^x) - 14 = 0.

Wir substituieren u = 4^x und haben:

2 u - 16/u - 14 = 0

2 u² - 14 u - 16 = 0

Jetzt haben wir ein Polynom, dieses lösen wir ganz normal. Die Lösungen sind u = -1 und u = 8.

Da für reell x 4^x immer positiv ist, können wir x = -1 ignorieren, und bekommen die Gleichung u = 8 bzw. 4^x = 8, wir bekommen:

x = 3/2.

LG

Kommentar von sveaneymarlove ,

Wie kommst du von 2 u - 16/u - 14 = 0 auf
2 u² - 14 u - 16 = 0

Kommentar von Roach5 ,

Einmal die gesamte Gleichung mit u multiplizieren.

Antwort
von JTR666, 9

0 = 2*4^x - 4^(2-x) - 14
Jetzt substituieren wir einfach die 4x und nennen diese z.
Dann ist 0 = 2z - 16/z - 14 | *z (Denn 4^(2-x) = 4²*4^(-x) = 16/4^x)
       <=> 0 = 2z² - 14z - 16
Gleichung normieren und du hast 0 = z² - 7z - 8
Mit der p-q-Formel erhältst du 
z1 = (-1)
z2 = 8

Jetzt müssen wir noch wieder resubstituieren, da wir wissen wollen, was unser x ist.
z1 = 4^x => ln(-1)/ln(4) = x1 aber da ln(-1) nicht definiert ist, gibt es keine Lösung für x1.
z2 = 4^x => ln(8) /ln(4) = x2 = 1,5

Somit ist x = 1,5

Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)

JTR

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

mal 4^x

→ 2•4^2x -4² -14•4^x = 0   substitution 4^x = u

2u² - 14u - 16 =0 durch 2 teilen

u²- 7u - 8 = 0  pq-Formel

u1= 8

u2 = -1

resubsti

4^x = 8  → x= lg 8 / lg 4

also x=1,5

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