Wie löse ich diese Gleichung (klammern, binomische Formel)?

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4 Antworten

Ein Produkt hat dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren des Produktes den Wert Null hat.

Der Faktor - (4 / 9) * x hat für x = 0 den Wert Null, also nennen wir die erste Nullstelle man x _ 3 = 0

x ^ 2 - 6 * x + 9 = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -6

q = 9

p / 2 = -3

(p / 2) ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9

x _ 1, 2 = - (-3) - / + √(9 – 9)

x _ 1, 2 = 3 - / + √(0)

x _ 1, 2 = 3 - / + 0

x _ 1 = 3

x _ 2 = 3

An der Stelle x = 3 ist eine sogenannte doppelte Nullstelle.

x _ 3 = 0

Es gilt deshalb

- (4 / 9) * x * (x ^ 2 - 6 * x + 9) = - (4 / 9) * x * (x - 3) * (x - 3) = - (4 / 9) * x * (x - 3) ^ 2

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Erste Lösung:
x = 0

Zweite Lösung:
x^2 -6x + 9 = 0
(x-3)^2 = 0 |√
x = 3

Wenn ein Produkt 0 ergeben soll, muss mindestens ein Faktor 0 sein.

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Die erste Lösung lautet x_1=0, da eine Multiplikation mit x vorliegt und der Term den Wert 0 annimmt, wenn du x = 0 setzt. Den Term in der Klammer löst du klassisch mit pq-Formel. 

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2. binomische Formel. (a-b)² = a² - 2ab +b²Jetzt vergleichen mit dem Ausdruck, den du da hast: x² - 6x + 9

Was ist a? Was ist b?

Du hast ja insgesamt

-4/9 x (x² - 6x +9 ) = 0

D. h. links steht ein Produkt. 

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist. 

- 4/9 ist nie Null, also uninteressant. 

x kann gleich Null sein - also ist die erste Lösung x = 0. 

Wann ist x² - 6x + 9 gleich Null? 

Da steht also 

x² - 6x + 9 = 0 

Und da kannst du dir jetzt den ganzen Quatsch mit der pq-Formel sparen, wenn du die 2. binomische Formel anwendest.... 


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