Frage von TechnikSpeziUsermod, 80

Wie löse ich diese Gleichung 3. Grades?

f(x) = x³ + 8,75x² + 6x

x1 = 0 v 8,75x² + 6x = 0

So viel weiß ich schon mal. Dann habe ich rechs ausgeklammert:

x1 = 0 v x * (8,75x + 6) = 0

Laut einem Video (TheSimpleClub) fällt das x quasi nun weg und man hat dann folgendes:

x1 = 0 v 8,75x + 6 = 0

So funktionierte das in einem anderen Beispiel auch ganz einfach. In dieser Aufgabe allerdings irgendwie nicht.

Nicht nur, dass ich dann x2 = -24/35 bekomme. Es fehlt auch eine Nullstelle. Raus kommt nämlich : x1 = 0 ; x2 = -0,75 ; x3 =-8

Ich habe allerdings keine Ahnung wie ich da drauf kommen soll. Kann ja eigentlich nicht so schwer sein, aber wie gesagt, ich finde da irgendwie keinen Ansatz, wie man aus 8,75x² + 6x ganze 2 Nullstellen (x2 = -0,75 und x3 = -8) bekommen soll. Ausklammern muss ich ja 2 mal, auch dort, weil ich mit den beiden x - Zahlen ja sonst nichts anfangen kann.

Auch mit der PQ-Formel also dann x² + 24/35 + 1 habe ich es versucht. Allerdings kommen da keine reellen Lösungen, da der Teil unter der Wurzel (Radikant / Diskriminante) negativ ist.

Wie muss ich vorgehen?!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 33

f(x) = x ^ 3 + 8.75 * x ^ 2 + 6 * x

Hier kannst du ein x ausklammern -->

x * (x ^ 2 + 8.75 * x + 6) = 0

Weil irgend etwas mit Null multipliziert wieder Null ergibt, deshalb ist der gesamte Ausdruck Null, wenn einer der Terme Null ist, deshalb ist eine Nullstelle schon mal Null, also x _ 3 = 0

Den zweiten Term ausrechnen -->

x ^ 2 + 8.75 * x + 6 = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = 8.75 = 35 / 4

q = 6

p / 2 = 35 / 8

(p / 2) ^ 2 = (35 / 8) ^ 2 = 1225 / 64

x _ 1, 2 = - (35 / 8) - / + √( 1225 / 64 – 6 )

x _ 1, 2 = - (35 / 8) - / + √( 1225 / 64 – 384 / 64 )

x _ 1, 2 = - (35 / 8) - / + √( 841 / 64 )

x _ 1, 2 = - (35 / 8) - / + 29 / 8

x _ 1, 2 = - 35 / 8 - / + 29 / 8

x _ 1 = - 64 / 8

x _ 1 = -8

x _ 2 = - 6 / 8

Nun holen wir die dritte Nullstelle von oben noch herbei -->

x _ 1 = - 8

x _ 2 = - 6 / 8

x _ 3 = 0

Kommentar von TechnikSpezi ,

Jetzt habe ich meinen Fehler endlich begriffen.

Wenn man z.B. (x-5) * (x²-4) = 0 hat, berechnet man ja quasi jede Klammer einzeln.

In dem Video von TheSimpleClub war dann hierbei das folgende Beispiel:

x³ * (4x³ - 4x) = 0. Da auch hier wieder Klammern sind bzw. ein Teil in Klammern, rechnet man dann halt rechts nach ein paar Schritten nur noch 4x² -4. 

Wahrscheinlich verstehst du meinen Fehler bzw. das, was ich gerade geschrieben habe gar nicht, ich weiß nicht, wie ich es besser erklären soll. Ist aber auch nicht so wichtig, ich habe meinen Fehler verstanden und verstehe es nun.

Dankeschön! :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Antwort
von fjf100, 35

x^3+8,75 *x^2+6 *x hier liegen nur Terme mit x vor,also ist eine Nullstelle bei x1= 0 das sieht man so,da braucht man gar nicht zu rechnen.

y= x *(x^2+8,75 *x + 6) dieses Klammerausdruck löst du mit der p-q-.Formel

Das ist alles !!

Kommentar von TechnikSpezi ,

Aber wie kommst du auf x * (+8,75x+6) ?

Hätte ich dieses x², wäre ich selbst sicher drauf gekommen. Aber das gibt es bei meiner Rechnung nicht?!

Du hast Recht, da würden auch die richtigen Nullstellen raus kommen.

Das einzige auf das ich jetzt schließen könnte wäre folgendes:

x³ + 8,75x² + 6x

x³ = 0

x1 = 0

So, jetzt bleibt dieses x³ und wird mit ausgeklammert, dann hätte man natürlich auch das x² und den Rest.

Aber falls diese Vermutung stimmen sollte, wieso bleibt das x³ plötzlich, während es bei allen anderen Rechnungen, die ich bisher getätigt habe immer "wegfiel", weil man ja "nebeneinander" rechnet und immer jeweils die einzelnen Faktoren. Liegt das vielleicht daran, dass hier ausnahmsweise jetzt keine Klammern sind?

Beispiel:

Bei (x-5) * (x²-4) würde man ja links die linke, rechts die rechte Klammer auflösen / halt = 0 setzten und die Nullstellen berechnen. War jetzt also der Fehler, dass dort keine Klammern waren und ich trotzdem so gerechnet hätte, als wären dort welche?

Bei Klammern also immer jede Klammer einzeln und ohne Klammern halt wie hier, sodass man quasi immer noch den Teil (hier das x³) auch auf der rechten Seite dazu nimmt?

Ich hoffe du verstehst mein gelaber :D

Kommentar von fjf100 ,

y=x *(x^2 + 8,75 *x +6) nun multiplizieren wir das x wieder in die Klammer 

y= x * x^2 + x *8,75 *x + x *6 = x^3 + 8,75 *x^2 + 6 *x

Weiteres Beispiel y= x *(x + 2) ausmultipliziert y=x *x + x 2=x^2+2*x

Wenn du einen Wert für x einsetzt z.Bsp. x= 1 dann kannst du mit deinen Rechner überprüfen,ob die Formel richtig ist.

Antwort
von gilgamesch4711, 8

Hier lass mal Pappi ran. Zuerst kannst du die Nullstelle x3 = 0 abspalten; es verbleibt eine quadratische Gleichung ( QG ) die ich aus gegebenem Anlass in ===> primitiver Form ( PF ) notiere:

     f ( x ) := 4 x ² + 35 x + 24 = 0       ( 1 )

    Nein wir machen das hier nicht mit der Mitternachtsformel ( MF ) Mein Stolz lässt das nämlich nicht zu. Schau doch mal, was Pappi alles weiß:

     https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

     Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

     Naa; hast du deinen Schock überwunden?

    Aber die Einlassung von Wiki, besagter SRN gehe auf Gauß zurück, stellt eine mutwillige Fälschung dar - Mathematik kann durchaus sehr aufregend sein.

1) Warum hat denn dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? Gauß ist doch Kult - ich weiß. Der hält es absichtlich vor euch geheim, um euch zu prüfen ...

2) WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Wie habt ihr das damals bewiesen? Überleg dir mal einen Beweis direkt aus dem SRN . Den Augenblick der Erleuchtung bezeichnet der japanische ===> Zen Buddhismus als ===> Satori. DAS wirst du dein Leben lang nicht mehr vergessen. Und weder Gauß noch die 200 Jahre seit ihm sollten diese Idee gehabt haben? Abwegig. Also wenn der SRN von Jauß is, denn bin ick Karl-Otto Eimer der Abwaschbare.

3) Das älteste Zitat, das Wiki vorzuweisen im Stande ist, stammt aus dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr 2006 . Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Als wirklich seriöse Literatur gelten ===> v.d. Waerden und ===> Artin ( 1930 ) ; diese kennen noch gar keinen SRN . . .

Eines der wohl schärfsten Gegenargumente. Unmittelbar in der Woche, als mir der SRN aus dem Internet bekannt wurde ( 2011 ) gelangen mir ( mit meinen drei Silvestern Mensa ) drei Entdeckungen, von denen weder Wiki noch Gauß zu wissen scheinen - bin ich jetzt schlauer wie Gauß und seine Nachfolger im Geiste? Zwei dieser Entdeckungen werden uns gleich zu beschäftigen haben. Schick ich schon mal voraus. Für eine QG so wie ( 1 ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder sie ist prim, das ===> Minimalpolynom ihrer Wurzeln. Oder sie zerfällt in die beiden rationalen Linearfaktoren

     x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q       ( 2a )

     Und die Idee, die ich hatte ( und auch bewiesen habe ) Zwei pq-Formeln

  SATZ 1 ( pq-Formeln )

 ===========================

   Sei eine QG gegeben in PF ( z.B. ( 1 ) ) und ihre beiden rationalen Wurzeln ( 2a ) wie üblich ausgekürzt. Dann folgen die beiden Gilgamesch pq-Formeln

      p1 p2 = a0 = 24         ( 2b )

     q1 q2 = a2 = 4            ( 2c )

========================================

Kleine Anekdote gefällig? In dem Konkurrenzportal ===> Lycos meldete sich mal ein Schüler, der auf Dummenfang gegangen war:

  " Ach ich bin ja soo hilflos; wer rechnet mir die ganzen Aufgaben mit der MF nach? "

     Ich antworte

     " Für den Murx, den ihr da immer mit der MF abliefert, hab ich bloß ein müdes Grinsen übrig. Als Erstes überflieg ich das mal mit meinen pq-Formeln; die Erfahrung lehrt, obwohl das nur eine notwendige Bedingung ist. Wenn die stimmen, habt ihr richtig gerechnet. Du hast a2 = 9 . Hier wie können dann x1 = Drittel und x2 = 27_tel sein? "

    Schreibt der frech zurück

    " ICH stehe ja Mathe 2 ; ich nehme an, dass du 5 stehst. Wenn du doch alles besser weißt; rechne mir die Gleichung AUSFÜHRLICH vor. "

   Noch heute suche ich nach dem Adjektiv, wie man so Kantonisten nennt. Der totale Abschreiberling, der sich selbst dann noch weigert zuzulernen, wenn es um eine Sache geht, die ihn schlauer machen würde als selbst seinen Lehrer. Ich bitte um Vorschläge; wie heißt dieser Charakterzug? Aussage ( 2c ) macht uns die Entscheidung nicht eben leicht;zwei Möglichkeiten stehen zur Wahl:

       Ganze <===> Viertel       ( 3a )

      Halbe <===> Halbe           ( 3b )

       Auch ich muss jetzt von ( 1 ) zur Normalform übergehen, um das zu klären.

       x ² - p x + q = 0         ( 4a )

       p = ( - 35/4 ) ; q = 6       ( 4b )

    Hinreichende Bedingung - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 4ab )

   p = x1 + x2         ( 4c )

   Rein vom Hauptnenner können in ( 3b;4bc ) " Halbe + Halbe " niemals Viertel ergeben. Als Nächstes müssen wir uns über das Vorzeichen in ( 2b ) Gedanken machen, weil ja " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt. Dafür gibt es die cartesische Vorzeichenregel ( die euch eure Lehrer verschweigen. )

    " Zwei Mal Minus "

     ( Wie soll denn auch eine Summe aus lauter positiven Termen Null werden? )

            x1 < = x2 < 0             ( 5 )

       Ja lohnt sich der ganze Aufwand überhaupt? Das Absolutglied 24 besitzt allein 4 Zerlegungen; genau genommen ja 8, weil wir noch nicht wissen, welchen Faktor wir der Ganzzahlseite und welchen den Vierteln zuschlagen. Aber ihr wisst ja; es wird nichts so heiß gegessen . . . Die Faktoren p1 und p2 in ( 2b ) sind nämlich TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder? Machen wir erst mal fertig.

    Die Primfaktorenzerlegung der 24 lautet 24 = 2 ³ * 3 ; Teiler fremd bedeutet: Ich darf das Zweierpäckchen nie aufschnüren. Es verbleiben die triviale Zerlegung

        24 = 1 * 24           ( 6a )

     so wie die nicht triviale

       24 = 3 * 8        ( 6b )

     Aber wenn ich mich nun tatsächlich für ( 6a ) entscheide. Gehört dann die 24 auf die Ganzzahlseite oder zu den Vierteln? In Satz 1 hieß es ausdrücklich, sämtliche Wurzeln müssen ausgekürzt sein; Viertel hieße doch 24/4 , und das ist sicher nicht gekürzt. Von unserer ganzen schönen Kombinatorik überleben tatsächlich nur noch zwei Alternativen, die wir jetzt gegen Vieta ( 4bc ) testen:

      x1 = ( - 24 ) ; x2 = ( - 1/4 ) ; p = ( - 97/4 )         ( 6c )

      x1 = ( - 8 ) ; x2 = ( - 3/4 ) ; p = ( - 35/4 )           ( 6d )    ; ok

Wie war das jetzt mit dem ggt? Auch da genieße ich wieder geistiges Urheberrecht; sei m ein Teiler. Dann gilt in ( 1;2b )

     m | p1;2 <===> m | a1 ; m ² | a0      ( 7a )

    Ein m, welches die rechte Seite von ( 7a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 1 ) heißen - K wie Koeffizient. ( Der K-Teiler ist nur definiert für primitive Polynome; ein primitives Polynom, welches mit der Normalform überein stimmt, heißt insbesondere normiert. ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; die Behauptung

     ggt p1;2 = gkt ( f )       ( 7b )

     Und Teilerfürst Gauß, der Teilbarkeitseigenschaften beschrieb, die unsereins nicht mal versteht, sollte den gkt nicht gekannt haben?

     " Da staunt der Laie; und der Fachmann wundert sich. "

  Wenn aber die Entdeckung des SRN erst neun Jahre zurück liegt, dann allerdings bin ick een janz dollen Hecht. Denn ich bin der erste, der seit jenem denkwürdigen Tage diese tür ein Stück weiter aufgestoßen hat. Staatlich geprüfter türstoßer - Genie der zweiten Reihe ...

Antwort
von UlrichNagel, 32

Dein 2. Schritt ist falsch. Es bleibt y = x² + 8,75x + 6!

Kommentar von TechnikSpezi ,

Ich verstehe meinen eigenen Fehler irgendwie gerade nicht. 

Aber du hast völlig recht. Wenn ich bei x² + 8,75x + 6 die PQ-Formel anwende, kommt dort genau das raus, was mein GTR auch ausspuckt, nämlich x2 = -0,75 und x3 = -8.

Kannst du mir bitte noch einmal etwas ausführlicher erklären, was jetzt mein Fehler war und wie du dabei die x² bekommen hast...?! Begreife ich leider noch nicht, das muss ich für die Klausur aber natürlich unbedingt wissen.

Trotzdem schon mal ein fettes Danke!

Kommentar von UlrichNagel ,

Du hast nur 3 x-Glieder und nur hier kannst du einen  gemeinsamen Faktor x ausklammern und es bleiben damit

y = x (x² + 8,75 +6) (mache Probe mit ausmultiplizieren!)

Kommentar von TechnikSpezi ,

Herzlichen Dank! :)

Antwort
von Translateme, 20

geht nicht

f(x) = 3x² + 17,5x + 6

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