Frage von Paulschumann99, 91

Wie löse ich diese Extremwertaufgabe?

Ich habe eine Frage bezüglich einer Extremwertaufgaben, die wir morgen vor der Klasse vorstellen müssen, ich hab aber leider keine Idee wie man diese löst. Die Aufgabe lautet wie folgt: Der zeitliche Verlauf der Kondensatorspannung U(t) bei einem Auf- und Entladevorgang eines Kondesators über einen konstanten Widerstand kann durch U(t)=k(e^-t)(1-e^-t) mit t ≥ 0 beschrieben werden. (e = Eulersche Zahl) Bestimmen sie denjenigen Zeitpunkt, an dem die Spannung maximal ist.

Ich bitte um Hilfe

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von valvaris, 66

Extremwertaufgaben löst du über die 1. und 2. Ableitung.

U(t) =  k(e ^ (-t))(1 - e ^ (-t))

U(t)' = 0,5e^(-2t) * (1-2e^t)

U(t)'' = e^(-t) - 1/4 * e^(-2t)

Dann setzt du U(t)' = 0 und kriegst erstmal die Positionen und wenn du das t dann in U(t)'' einsetzt, dann kriegst du eine Zahl < 0 für den Maximalwert (Hochpunkt).
Für dieses T ist dann die Spannung am höchsten.

Wenn du es allerdings grafisch lösen willst, dann ersetzt du in Gedanken t durch x und U(t) durch y und kannst das in ein Koordinatensystem skizzieren.

Ich würde empfehlen, du gibst die Gleichung in wolframalpha.com ein und zeichnest die Grafik ab.

Dann kannst du am Koorinatensystem sehen, wo der Hochpunkt ist und dafür die Zeit relativ genau ablesen.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Und warum kommt bei der 1. Ableitung dort eine 0,5 hin?

Kommentar von valvaris ,

Ich hab die Ableitung mit Wolframalpha.com gemacht. Im Kopf hatte ich keine Lust. ^^

Aber da das 2 Verschachtelte Terme sind, müsstest du erst de Kettenregel für jeden und danach nochmal die Produktregel anwenden und dort kommt dann beim Zusammenfassen auch irgendwo das halbe e her.

Wenn ich mich nicht irre, dann ist e^-t eigentlich e/t und wenn du nach t ableitest, dann kommt da irgendwo auch /2.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Ich komme halt immernoch nicht ganz klar, weil wir hatten da so eine Schrittfolge von unserem Lehrer bekommen und da mussten wir am Anfang erstmal eine Zielfunktion finden, mit nur 1 unbekannten Variable. Aber in dieser Gleichung gibt es ja 2 unbekannte (also das t und das k), deswegen komme ich noch nicht ganz weiter. Also das mit den Ableitungen verstehe ich, aber das mit den Variablen nicht.

Kommentar von valvaris ,

Es ist nur das unbekannt, was da in der Klammer vom U(t) steht. Für das k kannst du dir irgend ne Zahl ungleich 0 aussuchen, am Besten einfach 1, dann verschwindet das k.

Wäre es von Belang und müsste stehen bleiben, dann würde es unten am U dran stehen also Uk(t) mit nem tiefgestellten k.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Achsooo, das heißt ich könnte das k weglassen (also in dem Fall 1 setzen) und dann eine ganz normale Extremwertsuche machen?

Kommentar von valvaris ,

genau. Wenn nicht näher auf eine unbekannte Variable eingegangen wird, darfst du dafür das günstigste aussuchen.

Wenn du sie beim Ableiten mit durchschleifst und das über Limes machst, dann verschwindet die auch von alleine.

Genauso, wie du beim Ableiten eigentlich +c immer hinten dran schreiben müsstest, lässt du dass auch weg, weils keinen interessiert in deinem Fall.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Ok habe jetzt für k die Zahl 1 eingesetzt und komme auf ein Ergenis von ln ( 2 ) (also 0,6..), das heißt, wenn mein t = ln ( 2 ) ist, ist meine Spannung maximal?

Kommentar von surbahar53 ,

Genau, nach einer Zeit t=ln(2) ist die Spannung maximal (k > 0), und der Spannungswert ist dann

U( ln(2) )=k(e^-ln(2))(1-e^-ln(2)) =k * (1/2)*(1-1/2) = k * 0,25

Kommentar von Paulschumann99 ,

Ok vielen Dank!

Antwort
von surbahar53, 62

f(x) = k(e^-x)(1-e^-x)

Weil k eine Konstante ist, kann diese vernachlässigt werden ( k != 0).

f(x) = (e^-x)(1-e^-x)
f(x) = e^-x - e^-2x

f'(x) = - * e^-x + 2 * e^-2x

Es muss also gelten

2 * e^-2x = e^-x

ln ( 2 * e^-2x ) = ln ( e^-x )
ln ( 2 ) + ln ( e^-2x ) = ln ( e^-x )
ln ( 2 ) + -2x = -x
ln ( 2 ) = x

Um zu zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt, müsste man noch die Umgebung von ln(2) betrachten oder die 2. Ableitung.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Aber k ist doch ein konstanter Faktor und kein Summand, also bleibt k doch erhalten oder?

Kommentar von surbahar53 ,

Ja, der Faktor k bleibt natürlich am Ende erhalten. Für die Bestimmung eines Extremwerts spielt er aber keine Rolle. Wenn eine Funktion f(x) bei x=x1 ein Maximum / Minumum hat, dann gilt das auch für k * f(x), k != 0. Ist k negativ, dann vertauschen sich eventuell Maxima und Minima.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Habe als Ergeniss jetzt -k/2, kann das stimmen?

Kommentar von surbahar53 ,

Nein, die Funktion hat bei ln(2) einen Extremwert. Für k > 0 ist das an dieser Stelle ein Maximum und für k < 0 ein Minimum.

Die x-Stelle des Extremwertes dagegen ist unabhängig von k.

Kommentar von Paulschumann99 ,

Ich komme halt immernoch nicht ganz klar, weil wir hatten da so eine
Schrittfolge von unserem Lehrer bekommen und da mussten wir am Anfang
erstmal eine Zielfunktion finden, mit nur 1 unbekannten Variable. Aber
in dieser Gleichung gibt es ja 2 unbekannte (also das t und das k),
deswegen komme ich noch nicht ganz weiter. Also das mit den Ableitungen
verstehe ich, aber das mit den Variablen nicht.

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