Frage von GeoGamerLP, 54

Wie löse ich diese Exponentialgleichung 1/x = e^x nach x auf?

Nur zur Info: Das ist keine HA. Die nach x aufzulösende Exponentialgleichung lautet 1/x = e^x. Ich komm bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe schon so viel probiert, aber ich komme einfach keinen Schritt weiter zur Lösung. Bitte gebt mir nicht nur die Lösung, sondern auch einen Lösungsweg.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 5

Alle guten Rechner
( http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )
kennen die Umkehrfunktion zu x*e^x : LambertW(x)

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html
ist das §C oder universeller Beispiel §6 mit a=1, p=0, h=1, b=1
x=h/a * LambertW(n, a/h * (-1)^(2*N/h) * (b/e^p)^(1/h)) mit n=-2,-1,0,1;
x=LambertW(n, 1)

 n |  LambertW(n, 1)

-2 |-2.4015851048680028841741..-10.77629951611507089.. i
-1 |-1.5339133197935745079197..-4.375185153061898385.. i
0 |0.56714329040978387299996866...
1 |-1.5339133197935745079197..+4.375185153061898385..i
2 |-2.4015851048680028841741..+10.77629951611507089.. i

Probe dieser 5 Lösungen x1...x5 in x*e^x eingesetzt ergibt jedesmal die 1.
Auch wenn LambertW(n,x) in der Schule nicht behandelt wird,
ist es ganau so ein Iterationsalgorithmus wie bei Wurzel(x)=sqrt(x). Der Mensch allein bestimmt, wann (bei welcher Genauigkeit) abgebrochen wird.

Für Schüler, die keine komplexe Zahlen kennen, bleibt nur 1 reelle Lösung über.

Wie im Bild zu sehen wurden schon über 20000 Stellen dieses häufig
vorkommenden Wertes berechnet.

Zu "wenn ich nicht habe".
Aber Du hast doch bestimmt ein Handy mit Internet, wo man den 1. LINK (oder WolframAlpha.com) anklicken kann...
Man kann LambertW auch zeichnen (plotten), selbst wenn man die Funktion nicht kennt:
http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm
zeigt das im Beispiel 63 mit Hilfe der Iterationsfunktion.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 42

Forme ein bisschen um:

1/x = e^x          | *x

1 = x*e^x

Jetzt benötigst du die lambertsche W-Funktion, auch Produktlogarithmus genannt, das ist nämlich die Umkehrfunktion zu xe^x:

1 = x*e^x

x = W(1) ≈ 0,5671

LG Willibergi

Kommentar von GeoGamerLP ,

Welche Wertetabelle? Hab keine brauchbare gefunden.

Kommentar von Willibergi ,

Ich würde das einfach in einen entsprechenden Taschenrechner eintippen.

W(1) ist sogar ein spezieller Wert, nämlich die Omega-Konstante:

https://en.wikipedia.org/wiki/Omega_constant

LG Willibergi

Kommentar von GeoGamerLP ,

Und wenn es meiner nicht kann und ich nen anderen Wert (W(2)) habe?


Kommentar von Willibergi ,

So blöd das klingt, aber dann hast du Pech gehabt. Du kannst einen solchen Wert natürlich auch mit einem Näherungsverfahren approximieren.

LG Willibergi

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