Frage von Leylus, 35

Wie loese ich diese Exponentialgleichung 3^x - 4*3^x-2 = 15?

Hallo,

ich bin gerade am Mathelernen und versuche mich gerade an Exponentialgleichungen. Dabei bin ich ueber eine Aufgabe gestolpert, welche ich nicht loesen kann (siehe oben) Ich habe zwar die Loesung, jedoch keinen Rechenweg.

Koennte mir bitte jemand helfen...

Danke :)

Antwort
von SchumiFan91, 23

3^x - 4 • 3^(x - 2) = 15

3^x - 4 • (3^x ÷ 3^2) = 15
(Potenzgesetz a^(m - n) = a^m ÷ a^n anwenden)

3^x - 4 • (3^x • (1/9)) = 15

1 • 3^x - (4/9) • 3^x = 15

(1 - (4/9)) • 3^x = 15
(Ausklammern)

(5/9) • 3^x = 15 | • (9/5)

3^x = 27

3^x = 3^3

--> x = 3

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Soll es 3 ^ x - 4 * (3 ^ x) - 2 = 15 heißen,

oder 3 ^ x - 4 * 3 ^ (x - 2) = 15 heißen ??

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Ich gehe mal von dem letzteren aus.

3 ^ x - 4 * 3 ^ (x - 2) = 15

Dafür kann man auch schreiben -->

3 ^ x - 4 * (3 ^ x) / 3 ^ 2 = 15

Dafür kann man auch schreiben -->

3 ^ x - (4 / 9) * 3 ^ x = 15

Ich führe nun eine Substitution durch mit z = 3 ^ x

z - (4 / 9) * z = 15

Dafür kann man auch schreiben -->

(9 / 9) * z - (4 / 9) * z = 15

Dafür kann man auch schreiben -->

(5 / 9) * z = 15 | : (5 / 9)

z = 15 / (5 / 9)

Dafür kann man auch schreiben -->

z = 15 * 9 / 5

Dafür kann man auch schreiben -->

z = 27

Nun führe ich die Rücksubstitution durch.

Da z = 3 ^ x ist, deshalb ist x = ln(z) / ln(3)

z = 27, also ist

x = ln(27) / ln(3)

Dafür kann man auch schreiben -->

x = 3

Wenn man die Probe macht, dann stimmt das auch.

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