Frage von xy121, 54

Wie löse ich diese Betragsgleichung?

Eine Verständnisfrage zu Betragsgleichungen. |x^2-x| = 24 Jetzt bin ich so vorgegangen (bitte auf meine Fehler aufmerksam machen): Wenn x größer 0 ist, dann ist der Term |x^2-x| positiv - folglich gilt: x^2-x bei x größer 0

Wenn x kleiner 0 ist, dann ist der Term |x^2-x| negativ - folglich gilt -x^2+x bei x kleiner 0

Jetzt mache ich die beiden Fallunterscheidungen:

  1. positiver Ausdruck (x größer 0):

x^2-x-24=0 ergibt die Nullstellen bei x1= 5,42 und x2= -4,42. Da ich von x größer 0 ausgegangen bin, fällt x2 weg. Es bleibt die Nullstelle x1.

  1. negativer Ausdruck (x kleiner 0):

-x^2+x-24=0 ergibt keine Nullstelle.

Somit bleibt für den 'Schnittpunkt' nur x1=5,42 über. Wenn ich mir jetzt die beiden Graphen zeichnen lasse, also einmal y=|x^2-x| und y=24 dann erkenne ich aber auch den Schnittpunkt bei x2=-4,42. Wie kann das sein? Bei der Annahme x kleiner 0 kam ja kein Ergebnis raus und bei x größer 0 kam zwar dieser SP raus, muss ihn aber verwerfen, da er negativ ist und ich x größer 0 angenommen habe. Danke!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Hallo,

nicht wenn x größer als Null ist oder kleiner. Du mußt den Wert zwischen den Betragsstrichen betrachten: Wann ist er größer oder gleich Null? In diesem Fall kannst Du die Betragsstriche durch Klammern ersetzen oder ganz weglassen. Wann wird er kleiner als Null? In diesem Fall müßtest Du vor die Klammer ein Minuszeichen setzen.

Wann wird x²-x gleich Null? Wenn x entweder gleich Null oder gleich 1 ist.

Wenn x größer als 1 ist, bleibt der Ausdruck positiv, weil das x² schneller wächst als das x. In diesem Fall kannst Du die Betragsstriche weglassen.

Ist x zwischen 0 und 1, dann ist x² immer kleiner als x (1/9 ist kleiner als 1/3).

Wenn eine größere von einer kleineren Zahl abgezogen wird, ist das Ergebnis negativ. Für x zwischen 0 und 1 mußt Du die Betragsstriche durch eine Klammer mit einem Minus davor ersetzen.

Was ist, wenn x kleiner als Null ist? x² ist immer positiv. Wenn von einer positiven Zahl eine negative Zahl abgezogen wird, ist das Ergebnis immer positiv, denn zwei Minus hintereinander rechnen sich wie ein Plus.

Wenn x=-2, dann ist x²-x=(-2)²-(-2)=4+2=6.

Bei x=0 kommt 0 heraus. Auch hier sind Betragsstriche unnötig.

Ebenso bei x=1.

Nur für den Fall, daß 0<x<1 ist, gilt: |x²-x|=-(x²-x)=-x²+x

Ansonsten: |x²-x|=x²-x

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von xy121 ,

super danke!!!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Wenn das eine Ungleichung wäre, hätte ich vielleicht Kopfschmerzen. So gehe ich den schnellen Weg und quadriere:

|x²-x|        =  24       | ² und sofort wieder √
x² - x        =  24       | -24
x² - x - 24 =  0                        p = -1    q = - 24
          x₁‚₂ =  0,5 ±√(0,25+24)
            x₁ =  5,4244289
            x₂ = -4,4244289

Ist diesem Ergebnis zu trauen? Ich habe mal für beide die Probe gemacht. Es geht beides auf +24 aus. Glück gehabt.

Kommentar von Rubezahl2000 ,

NEIN, diesem Lösungsweg ist NICHT zu trauen, zumindest nicht allgemein!
Quadrieren und anschließend Wurzelziehen ist kein allgemeingültiges Mittel, um die Betragstriche wegzubekommen, denn für reelle a ist √(a²) NICHT notwendigerweise =a
Sondern: √(a²) = │a│

Bsp: a=-2: √(a²) = √((-2)²) = √4 = 2 = │a│ ≠ a

Antwort
von Polynomo, 10

Betrachte mal zur Fallunterscheidung Deinen Term

       x² - x   =  x * ( x - 1 )

Dann kommst Du eigentlich auf  3 Fälle !!!

1.  Der Fall    " Plus mal Plus "   , dann muss      x > 1    sein

2. Der Fall    " Minus mal Minus " , dann muss   x < 0  sein

3. Der Fall     " Plus mal Minus "  , der gilt für alle anderen x , also für  0 < x < 1

Lösungen bringen  nur die Fälle  1)    und  2)    ( wie Du auch berechnet hast )

aber wegen der Genauigkeit solltest Du Deine  beiden Lösungen nochmal überprüfen !!

Antwort
von Rubezahl2000, 27

Deine Fallunterscheidung ist falsch!

Deine Annahme, daß x²-x positiv ist für alle x>0 stimmt NICHT!
Z.B. für x=1/2 ist x²-x = 1/4 - 1/2 = -1/4 also negativ!

Und für z.B.  x=-2 ist x²-x = 4+2 = 6 also positiv, obwohl x<0

Antwort
von Loltana, 24

Schon zu beginn: wenn x kleiner 0 ist, ist das ganze auch positiv und nicht negativ.. weil das ^2 machts positiv

Antwort
von Ahzmandius, 12
positiver Ausdruck (x größer 0):

Es geht nicht darum, dass das x>0 ist, sondern darum, dass der gesamte Ausdruck (x^2-x)>0 ist, dann kannst du die Betragsstriche weglassen.

Wenn (x^2-x)<0, kannst du auch die Betragsstiche weglassen, musst aber ein Minus vor den Ausdruck setzen.

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