Wie löse ich diese Aufgabe(Mathematik,Vollständige Induktion)?

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3 Antworten

Hallo,

ich zeige Dir mal, wie Aufgabe 1 anzugehen ist.

Die vollständige Induktion funktioniert so, daß Du zwei Dinge nachweist:

Zum einen, daß die Behauptung für das erste Glied stimmt, denn wenn die schon falsch ist, kannst Du Dir den Rest sparen.

Es wird also behauptet,
daß die Summenformel für 3k-2 gleich [(1+n)*(3n-4)]/2 ist.

Das erste Glied dieser Summe wäre k=0.

Für k=0 ist die Summe 3*0-2=-2.

Wenn wir in der Summenformel für n=k=0 einsetzen, sollte also -2 herauskommen:

[(1+0)*(3*0-4)]/2=(1*-4)/2=-2

Das ist schon mal korrekt.

Jetzt kommt der zweite Schritt, der ist ein bißchen schwieriger.

Die Summe einer Reihe kommt so zustande, daß man die Glieder der Reihe nach berechnet und addiert. Wenn Du also die Summe für k=0 bis k=3 suchst, setzt Du der Reihe nach für k die 0, die 1, die 2 und die 3 ein, so wie wir es eben mit der 0 bereits getan haben, rechnest die einzelnen Glieder aus und addierst sie. Du rechnest also (3*0-2)+(3*1-2)+(3*2-2)+(3*3-2)=

-2+1+4+7=10. Die einzelnen Summanden weiter aufzuzählen, sollte jedem Kind gelingen, es kommen immer 3 dazu. Zu der bisherigen Summe wird dann jeweils der nächste Summand hinzugezählt.

Die nächste Summe wäre also die 20 (10+10), dann käme die 33 (20+13) usw.

Nun wäre das mühsam, diese Rechnerei für k=1000 oder 100.000 fortzuführen. Du möchtest ja nicht 100.000 Summanden oder mehr zusammenrechnen müssen, um auf die Summe zu kommen. Mit der Formel geht das einfacher, wenn sie denn korrekt ist.

Um sie zu beweisen, müssen wir uns klar machen, was passiert, wenn zu einer Summe das nächste Glied dazu kommt. Nehmen wir an, Du berechnest die Summe für k=10. Das wäre nach der Formel 11*26/2=143.

Die nächste Summe wäre dann um 3*11-2, also um 31 höher, müßte also 174 betragen. Gibst Du k=11 in die Formel ein, erhältst Du 12*29/2=174.

Du hast diese 174 auf zwei verschiedene Weisen berechnet. Einmal hast Du zu der Summe für ein bestimmtes k, die Du nach der Formel berechnet hast, das nächste Glied nach der Summenvorschrift 3k-2 addiert, also 
3*(k+1)-2. Bis dahin klar? In die Formel hast Du die 10 eingesetzt, dazu hast Du die Summenvorschrift für 10+1=11 addiert.

Beim zweiten Mal hast Du die (10+1), die 11, direkt in die Formel eingegeben, also

[(1+(10+1))*(3*(10+1)-4)]/2 gerechnet.

Das machen wir für den Beweis genauso, nur eben allgemein.

Wir weisen rechnerisch nach, daß [(1+k)*(3*k-4)]/2+3*(k+1)-2 dasselbe ist wie [(1+(k+1))*(3*(k+1)-4)]/2

Dazu multiplizieren wir am besten die Klammern aus und sehen, was passiert:

(3k²-k-4)/2+3k+1=[(2+k)*(3k-1)]/2

Die linke Seite bringen wir auf einen Nenner, indem wir 3k-1 mit 2/2 erweitern:

(3k²-k-4+6k+2)/2=(3k²+5k-2)/2 (Rechts habe ich ausmultipliziert und zusammengefaßt)

Nun noch links ein bißchen vereinfachen:

(3k²+5k-2)/2=(3k²+5k-2)/2

Das stimmt.Und wenn es für k stimmt, stimmt es auch für n, wobei die Einschränkung gilt, daß n>=0 ist.

So funktioniert das mit der vollständigen Induktion immer.

Du weist die Formel für das erste Glied nach und zeigst dann, daß die Formel, wenn man die Summe für ein bestimmtes Glied berechnet und das nächste Glied addiert, das gleiche Ergebnis liefert, wenn man das nächste Glied, also k oder n+1 direkt in die Formel eingibt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 10:39

danke für die ausführliche Beschreibung! :) hat mir sehr weitergeholfen!

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Poste doch bitte deinen Lösungsversuch, dann kann man versuchen den Fehler zu finden.

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 09:45

Ich kann den Induktionsanfang bei Beispiel 3 nicht lösen 🙈 bei der rechten Seite kommt bei mir 1+x heraus, bei der Linken allerdings nicht. 1+x stimmt aber laut Lösung

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 09:53

Das verstehe ich irgendwie nicht 🙈 wenn ich für n beim ersten Faktor 0 einsetzt kommt bei mir 1+x^0,5 heraus ... Wieso fällt der 2te Faktor weg?

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 10:00

Wieso ist der erste Faktor fest? 🙈

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 10:11

ich dachte ich muss in (1+x^2^n-1)*(1+x^2n) n=0 einsetzen und dads das dann 1+x ergeben muss 🙈 das heißt also ich muss Mir hier immer nur den ersten faktor anschauen?

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na das heißt doch:  wenn es für k=0 gilt (bzw. k=1, je nachdem wo da anfängt),  und   daraus  dass es für ein n gilt folgt dass es für n+1 auch gilt, dann ist es bewiesen.  Also anfangen k=0 einzusetzen bei der ersten.

k=0 E (3k-2) = (1+n) (3n-4) / 2 , n>=0

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Kommentar von ThomasAral
28.10.2015, 09:36

(3*0-2) = (1+0)(3*0-4)/ 2,   -2 = 1*(-4)/2,   -2 = -2    ok, stimmt

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Kommentar von domaei
28.10.2015, 09:41

Sorry das war mein Fehler, ich brauche das 3te Beispiel. Beispiel 1 und 2 verstehe ich.

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