Frage von MmOoMmOo, 95

Wie löse ich diese Aufgabe? Differentialrechnung?

Hey ich verzweifel grade an der Aufgabe die ihr auf dem Bild sehen könnt. Damit f eine stetige und differenzierbare Funktion ist, müssen die Funktionen, sowie deren Ableitungen an der Stelle 2 gleich sein, richtig oder? Das habe ich nun gemacht, doch das Gleichungssystem ist einfach nicht lösbar.

Wäre über schnelle Hilfe sehr dankbar

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ELLo1997, 45

Beim Ableiten fällt doch ln(a) weg. Das heißt aus der Differenzierbarkeit solltest du doch schon b berechnen können und daraus mittels der Stetigkeit dann a.

Lg

Kommentar von MmOoMmOo ,

Wenn ich nach x hin auflöse...wieso fällt ln(a) dann weg?

Kommentar von ELLo1997 ,

Du differenzierst (!) nach x. a und b sind ja reelle Konstanten, dh ln(a) ist ebenso nur eine Konstante und du weißt vielleicht, dass Konstanten beim Differenzieren wegfallen.

Kommentar von MmOoMmOo ,

oh man...einfach nur ein Brett vor dem Kopf...

dir vielen, vielen Dank!

Kommentar von ELLo1997 ,

sehr gerne ;-)

Antwort
von Truman2Bellic, 4

Für die Lösung dieser Aufgabe solltest du dir klar machen wie man die Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle x0 zeigen kann. In dem fall hier ist die interessante Stelle x0 bzw. x=2 da dort die Funktion offensichtlich nicht mehr kontinuierlich definiert ist. Man kann auch sagen der Graph macht an der Stelle einen Sprung. Das heißt also die Funktion muss eindeutig definiert sein für den entsprechenden Definitionsbereich (hier die reellen Zahlen). Das überträgst du nun auf die Aufgabe.

Also musst du nun folgende Bedingungen Anwenden: Für die Stetigkeit muss gelten das der rechts- und linksseitige limes x-->2 gleich ist. Sprich: lim x-->2+ f(x) = lim x-->2- f(x). Setze also die beiden Gleichungen, welche die Funktion Abschnittsweise beschreiben, gleich und dabei für x den Wert 2 ein. Somit hast du schon mal eine Gleichung für die erste Beziehung gefunden welche gelten muss.

Nun musst du für die Differenzierbarkeit analog verfahren, mit dem Unterschied das eben der rechts- und linksseitige Limes für die Ableitung an der Stelle x=2 existieren muss. Leite also beide gleichungen nach x ab, setze diese Gleich und für x wieder 2 einsetzen. Jetzt kannst du bereits b ausrechnen und daraus direkt auf a schließen wenn du wieder an die erste Gleichung bezüglich der Stetigkeit zurück denkst.

Das sollte es gewesen sein. Also es kommt, wie meine Ellejolka schon geschrieben hat, a = 4/3 und b = e^12 raus.

Falls du noch fragen hast, dann nur raus damit :)

mfg

Antwort
von PhotonX, 56

edit: Also für mich sieht das Gleichungssystem sehr lösbar aus. Hast du beim Ableiten auch ln(a) als Konstante wegfallen lassen?

Kommentar von MmOoMmOo ,

Hey, danke erstmal für deine schnelle Antwort. Ja genau das habe ich ja bereits gemacht, allerdings kann ich diese Gleichungen dann nicht lösen

Kommentar von PhotonX ,

Sorry, habe deine Frage zunächst nicht genau genug gelesen (warum hast du auch nicht das Gleichungssystem gepostet? ;)) - habe meine Antwort aktualisiert.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 13

velleicht zur Kontrolle:

a = e^12

b = 4/3

?

Antwort
von Zwieferl, 3

Das sieht mir irgendwie wie eine Fangfrage aus:
 * wenn a>0 sein soll, dann kannst du für a alles einsetzen, denn der ln einer positiven Zahl ist auf jeden Fall eine reelle Zahl → d.h. die Funktion ist überall stetig und differenzierbar
 * für b gilt dasselbe, denn eine Polynomfunktion ist immerund überall stetig und differenzierbar

Aber vielleicht übersehe ich auch irgendetwas...

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