Frage von Geograph, 70

Wie löse ich die Gleichung x^2 = 2^x?

https://www.gutefrage.net/frage/logarithmus-gleichung-loesen

Diese Frage steht immer noch auf meinem Merkzettel.

Gibt es wirklich keine mathematische Lösung?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 21

Hallo,

Schachpapa hat ja bereits die Lambert-W-Funktion erwähnt.

Sie ist die Umkehrfunktion von x*e^x

Wenn Du also z.B. wissen möchtest, für welches x der Term x*e^x gleich 3 wird, gibst Du die 3 in diese Funktion ein, bekommst Du als Lösung 1,04990889, die sehr nah am tatsächlichen Wert ist.

Was hilft Dir das bei x²=2^x?

Eine Menge, wenn Du es schaffst, diese Gleichung irgendwie auf die Form x*e^x zu bringen.

Zunächst einmal mußt Du e ins Spiel bringen. Das geht, wenn Du weißt, daß jede Zahl x>0 als e^ln(x) dargestellt werden kann.

Du schreibst also:

x²=e^ln(2^x)

Da nach den Logarithmengesetzen ln(a^b)=b*ln(a) ist, schreibst Du:

x²=e^(x*ln(2))

Nun erweiterst du beide Seiten mit e^(-x*ln(2)):

x²*e^(-x*ln(2))=1

und ziehst die Wurzel:

x*e^(-(x/2)*ln(2)=1

Nun ersetzt Du den Exponenten (-x/2)*ln(2) durch z

x ist dann gleich  -2z/ln(2)

So kommst Du auf die Gleichung 

(-2z/ln(2))*e^z=1

und weiter:

z*e^z=-ln(2)/2

z ist also der Wert, den Du bekommst, wenn Du -ln(2)/2 in die Lambert-W-Funktion eingibst.

Da diese zwei Äste besitzt, bekommst Du hier zwei Werte:

z=-0.69314718
oder
z=-1.38629436

Da x=-2z/ln(2), bekommen wir für x die beiden Werte
x=1,999 999 998

oder 

x=3,999 999 997, was doch sehr nah an den tatsächlichen Lösungen x=2 oder x=4 ist.

Nun kann die Wurzel aus x²*e^(-x*ln(2) auch negativ sein.

Dann kommst Du auf die Gleichung:

-x*e^(-(x/2)*ln(2))=1

Auch hier wird der Exponent wieder durch z ersetzt und x durch z ausgedrückt:

-(x/2)*ln(2)=z

-x=2z/ln(2)

Also:

2z/ln(2)*e^z=1

z*e^z=ln(2)/2

Nun bekommen wir für z 0.26570574.

In die Formel x=-2z/ln(2) eingegeben, bekommen wir nun x=-0,766 663 927 8,

was in die Gleichung x²=2^x eingegeben 0,5877735782=0,587775069 ergibt, also nur wenig von der tatsächlichen Lösung abweicht.

Es gibt also drei Lösungen:

x=-0,766664; x=2 und x=4

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Noch ein Nachtrag: 

Einen Rechner für die Lambert-W-Funktion findest Du hier:

http://www.had2know.com/academics/lambert-w-function-calculator.html

Bei Dezimalstellen bitte einen Punkt und kein Komma benutzen, sonst bekommst Du falsche Werte:

Also 1.2 anstatt 1,2 usw.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Schachpapa, 26

Wolfram-Alpha beantwortet das mithilfe der Lambert-W-Funktion

Die ist wohl in Mathematica (und damit auch in Wolfram|Alpha) fest verdrahtet.

Der Einwand, dass es dafür nur Näherungen gibt, gilt auch für Logarithmus, Trigonometrische usw. Funktionen.

Wie man allerdings damit umgeht, kann ich dir nicht sagen. Guckst du hier: http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen & Mathematik, 13

Das kommt darauf an, ob du jetzt eine Funktion darin siehst oder nur eine Bestimmungsgleichung. Eine Lösung ist völlig trivial und liegt auf der Hand.

x = 2

Denn wenn du das links und rechts einsetzt, ist die Gleichung wahr.
Die Lösung ist auch mathematisch korrekt.
Und auf mehr kam es dir doch nicht an, nicht wahr?

Zu logarithmieren brauchst du auch nicht,
Und wenn du's tust, liegt dieses Ergebnis ebenfalls auf der Hand:

2 ln x = x ln 2

Das wird auch durch  x = 2  erfüllt.

Kommentar von Geograph ,

Aber diese Gleichung hat ja noch zwei andere Lösungen:

x = -0,767 und x = 4 ???? 

Kommentar von Volens ,

Das stimmt, und Willy hat es auch schön ausgeführt.
Dennoch ist deine Frage beantwortet. Sie hieß:

Gibt es wirklich keine mathematische Lösung?

Die möglichen logischen Antworten sind:
(es gibt keine) oder (es gibt eine).

Es gibt zwar mehr Lösungen, aber das ist nicht die unmittelbare Beantwortung der Frage,
(Warum sollte ich Willys Ausführungen wiederholen? Mir kam es auf den logischen Gehalt der Frage an. Auch die Lösung 2 hatte ja schon dagestanden.)

Antwort
von Rubezahl2000, 32

Die Gleichung hat Lösungen!
Z.B. x=2 und x=4 sind mathematisch korrekte Lösungen dieser Gleichung, denn:
2²=2² und 4²=2⁴

Ok, ich sehe gerade, es geht dir gar nicht um die Lösungen, sondern um die Umformung der Gleichung, also darum, wie man die Gleichung nach x auflöst.
Das hatte ich im Fragetext zunächst nicht so verstanden.

Antwort
von benwolf, 47

Lösungen gibt es aber ich wüsste nicht wie man diese Gleichung nach einem x aufstellt weil du ja zu beiden richtungen hi funktionen anwenden müsstest die sich gegenseitig nicht aufheben. sollte also eine transzendente gleichung sein.

Bin allerdings auch kein mathematiker

Antwort
von NoTrolling, 28

Es gibt keine analytische Methode, um eine Gleichung dieser Form zu lösen. Allerdings gibt es Näherungsverfahren, das zu den Lösungen x=2, x=4 und -0,766665 führt.

Siehe: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+%3D+2%5Ex

Antwort
von Dhalwim, 12

Hallo Geograph,

Diese Frage steht immer noch auf meinem Merkzettel.

Gibt es wirklich keine mathematische Lösung?

Nun, anscheinend nicht. Hier würde mir jetzt auch nur die 2 einfallen.

Weil, 2^² = 2^²,

         4 = 4,

Komme hier auf keine andere Lösung.

LG Dhalwim

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