Frage von BOTGary, 38

Wie löse ich die folgende Bruchgleichung?

Könnte mir jemand behilflich sein und mir diese Aufgabe erklären?

Lösen Sie die Gleichung nach der Variable x auf und geben Sie die Definitionsmenge sowie die Lösungmenge an.

x+2/x-1 - x-3/x+1 = 6/x²-1

Vielen Dank.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 5

Mein Tipp: erst mal alle Brüche auf den Hautnenner (HN) bringen.

Welches ist der Hauptnenner? Der muss alle Faktoren, die in irgendeinem beteiligten Nenner vorkommen, enthalten. 

Der erste Nenner bildet den ersten Faktor: x - 1
Der zweite Nenner bildet den zweiten Faktor: x + 1
Und x² - 1? Ist "zufälligerweise" (x-1)·(x+1)

Somit musst Du nur die ersten beide Brüche erweitern.

Anschließend mit dem HN multiplizieren, dann erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du wohl lösen kannst. (Sonst nachfragen)

Antwort
von tooob93, 6

hi, bei dieser Art von Aufgaben kannst du in 99,9999999999% aller Fälle davon ausgehen dass sich in den Nennern eine Binomische Formel versteckt.

Hier haben wir die 3. Bin. Formel denn (x-1) * (x+1) = x² -1

nun da wir das wissen wollen wir nun alle Terme auf den gleichen Nenner bringen. Wir wollen als gemeinsamen Term x²-1.

Was fehlt den einzelnen Termen dazu? Richtig, dem linken Term fehlt mal x+1 dem mittleren fehlt mal x-1 und der rechte Term ist bereits in der Form die er haben soll

Also los gehts: (x+2)*(x-1) - (x-3)*(x+1) / (x²-1) = 6/(x²-1)

nun lösen wir die klammern auf und machen einen klasse Trick, indem wir mit dem Nenner Multiplizieren verschwindet er überall

x²-x +2x -2 -x²-x +3x +3 = 6 Nun fassen wir zusammen:

3x +1 = 6

3x = 5

x = 5/3 bzw. 1,6666666

Die Definitionsmenge ist wie folgt: es kann alle Reellen Zahlen haben, ausser jene, bei denen man durch 0 teilen würde, Also schauen wir uns den Nenner der Terme an.

Beim ersten Term haben wir x-1, das heißt, wenn x 1 ist dann würden wir durch 0 Teilen, der fällt also weg, beim mittleren term haben wir x+1 hier müsste x=-1 sein um durch 0 zu teillen, dieser fällt also ebenso weg.

Also hast du als definitionsmenge alle zahlen ausser 1 und -1

Ich hoffe ich konnte helfen.

LG Tooob

Kommentar von BOTGary ,

Danke, endlich habe ich es verstanden! LG

Kommentar von EstherNele ,

Was fehlt den einzelnen Termen dazu? Richtig, dem linken Term fehlt mal x+1 dem mittleren fehlt mal x-1 und der rechte Term ist bereits in der Form die er haben soll

Also los gehts: (x+2)*(x-1) - (x-3)*(x+1) / (x²-1) = 6/(x²-1)

Tja, dem ersten Term fehlt noch was - du hast den Nenner vergessen mitzunehmen. 

Eigentlich müsste die Geschichte so heißen:

(x+2)*(x-1) / (x²-1) - (x-3)*(x+1) / (x²-1) = 6/(x²-1)

Und von da an beginnt dein Rechenfehler mit allen Konsequenzen bis zum Ergebnis ...

Kommentar von tooob93 ,

Hi, danke für deinen Kommentar,

im Normalfall hast du Recht, allerdings sind hier links und rechts vom Gleichheitszeichen die selben Nenner, daher kann mit dem Nenner multiplizieren und somit verschwindet dieser.

Antwort
von gfntom, 5

Bringe die linke Seite auf gleichen Nenner und dann schau genau hin!

Antwort
von mariese, 7

Geh doch einfach mal auf folgende Seite, da kann man beliebige Gleichungen eingeben die einem dann vorgerechnet werden :)

http://www.mathepower.com/gleichungen.php

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