Frage von TechnikSpeziUsermod, 59

Wie löse ich die Extremwertaufgabe?

Das wichtigste ist für mich erst einmal:

Wie muss ich mir das vorstellen?

Der Text zwischen a) und b) ist gerade vor allem mein Knackpunkt, wo ich nicht weiter komme. Ich weiß nicht, wie ich mir das vorstellen soll und wie ich dementsprechend überhaupt b) lösen soll.

Bei b) (2) muss ich vermutlich eine Funktion aufstellen und anschließend den Hochpunkt berechnen, richtig?

Kann mir jemand helfen?


Hier die Bilder zur Aufgabe:

http://www.mediafire.com/convkey/cfad/ch7c21dqa5rc4ltzg.jpg

Bild zu Aufgabe a) als Antwort!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 35

Du hast zwei Funktionen gegeben:

f(x) = 1/4 * x³ - 3x
g(x) = x (das ist die Winkelhalbierende)

Wenn du dir die beiden zugehörigen Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnest, wirst du erkennen, dass diese sich im Bereich 0 ≤ x ≤ √12 zwei Mal schneiden. Einmal bei (0 | 0) und einmal bei (4 | 4).

Was nun von dir verlangt wird, ist folgendes:

Irgendwo zwischen 0 und √12 liegt Punkt A auf dem Graphen von f. In diesem Bereich liegt auch Punkt B auf dem Graphen von g.

Wenn du diese beiden Punkte verbindest, erhältst du eine Strecke, die vom Graphen von f zum Graphen von g geht.

Und die Länge dieser Strecke soll maximal werden.

Zu beachten ist hierbei, dass die Strecke nicht senkrecht verlaufen muss, also auch schief sein kann. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von TechnikSpezi ,

Vielen Dank schon einmal! :)

3 Fragen kommen mir direkt auf:

1. Woher weiß ich, dass bei (0|0) und bei (4|4) jeweils die Schnittpunkte sind?

Wegen dem Intervall [0;4] ?

2. Heißt das, dass die Strecke von A nach B vermutlich vom Tiefpunkt T(2|-4) zum Schnittpunkt S(4|4) geht und ich dann genau diese Stecke berechnen muss?

3. Welche Winkelhalbierende? Ich verstehe nicht, um welchen Winkel es hier gehen soll?!

Kommentar von Willibergi ,

Woher weiß ich, dass bei (0|0) und bei (4|4) jeweils die Schnittpunkte sind?

Funktionsterme gleichsetzen und nach x auflösen. 

1/4*x³ - 3x = x ⇔ x = -4 ∨ x = 0 ∨ x = 4

Zwei der drei Schnittpunkte liegen im besagten Intervall.

f(0) = 0
f(4) = 4

Heißt das, dass die Strecke von A nach B vermutlich vom Tiefpunkt T(2|-4) zum Schnittpunkt S(4|4) geht und ich dann genau diese Stecke berechnen muss?

Ja, das hört sich gut an. :)

Welche Winkelhalbierende? Ich verstehe nicht, um welchen Winkel es hier gehen soll?!

Hier ist offensichtlich die Winkelhalbierende der beiden Koordinatenachsen gemeint, also die Gerade, die im 90°/2 = 45°-Winkel zwischen den beiden Koordinatenachsen verläuft.

LG Willibergi

Kommentar von TechnikSpezi ,

Okay, da bin ich schon ein ganzes Stück weiter :)

Soweit alles verstanden.

Die Winkelhalbierende im IV. Quadranten schneidet "zufällig" auch den Tiefpunkt.

Nicht nur zeichnerisch, sondern auch rechnerisch.

Man kann die Punkte (0|0) und B(2|-4) dann einfach wieder einsetzten und bekommt m = -2.

Setzt man die Funktionen wieder gleich, kommen als Schnittpunkte im Definitionsbereich P(0|0) und B(2|-4) raus.

Die Probe bestätigt es also auch nochmal.

________________________________________________

Jetzt Punkt A, wo ich mal wieder nicht weiter komme. Der Punkt A hat einen Definitionsbereich von 0 < x < √12 und liegt auf dem Graphen von f.

Wenn B(2|-4) korrekt ist und der Bereich für Punkt A bis max. √12 geht, dann würde es laut meines Gehirns doch auch nur Sinn machen, dass der Punkt auch genau bei A(x|√12) liegt, damit die Strecke ihre maximale Länge erreicht.

Das heißt, meine Vermutung stimmte fast. Die Ausnahme ist halt, dass der Definitionsbereich in diesem Fall "nur" bis √12 geht und deshalb ganz am Rand des Bereiches auch Schluss ist und dort der Punkt liegen muss.

Dementsprechend wäre der Punkt A für meine Theorie A(3,939..|√12).

Klingt das noch logisch? Sind meine Gedanken richtig?

Da ist doch sicherlich wieder ein dummer & typischer Denkfehler von mir drin, oder? :/

Kommentar von Willibergi ,

"Die Winkelhalbierende im IV. Quadranten schneidet "zufällig" auch den Tiefpunkt."

Nein, eben nicht. Winkelhalbierenden, die sich auf die Koordinatenachsen beziehen, haben immer |m| = 1. Eine Gerade, die den Tiefpunkt von f schneiden würde, hätte die Steigung -2 und wäre somit keine Winkelhalbierende.

Es geht konkret um die Gerade mit der Gleichung x = u (das wird in dieser Aufgabe offenbar so angegeben, x steht wohl für die Nullstelle).

Die Nullstelle dieser Gerade liegt zwischen 0 und √12.

Außerdem verläuft die besagte Gerade ganz offensichtlich durch den Tiefpunkt von f bei (2 | -4) und durch den Schnittpunkt der beiden anderen Funktionsgraphen bei (4 | 4).

Es gilt: 

A(2 | -4) und B(4 | 4)

Zwei Punkte sind gegeben, also kann die Geradengleichung aufgestellt werden:

h(x) = 4x - 12

Da hier aber von der Form x = u die Rede ist, muss die Nullstelle noch berechnet werden.

Sie liegt bei x = 3 und das ist die benötigte Gleichung für das gesuchte u.

u muss 3 sein, damit die Strecke AB maximal wird.

Konkret ist die Strecke AB dann etwa 24,83 LE lang.

"Die Ausnahme ist halt, dass der Definitionsbereich in diesem Fall "nur" bis √12 geht und deshalb ganz am Rand des Bereiches auch Schluss ist und dort der Punkt liegen muss."

Da liegt der Fehler. Die Gerade ist über komplett ℝ definiert. Nur für deren Nullstelle bei x = u gilt 0 ≤ u ≤ √12.

LG Willibergi

Kommentar von TechnikSpezi ,

Gut, jetzt habe ich es endlich verstanden! :)

Hab da vor allem was bei Punkt A & B verwechselt.

Vielen Dank für die Hilfe und Ansätze! :))

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ;)

Danke für den Stern! ^^

LG Willibergi

Expertenantwort
von TechnikSpezi, Community-Experte für Computer, Schule, PC und Hardware, 31

Hier das Bild zu Aufgabe a)

http://www.mediafire.com/convkey/f41a/3cim04f030h487hzg.jpg

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