Frage von KingOff, 40

Wie löse ich den Mathe-Beispiel?

hi

durch eine Funktion V wird das Atemvolumein der Lunge einer Person in Abhängigkeit von der Zeit nährungsweise bestimmt: V(t) = 3 + A ∙ sin(ω ∙ t + φ) mit A > 0, ω > 0, –π < φ ≤ π

t ... Zeit in Sekunden (s) V(t) ... Atemvolumen zur Zeit t in Litern (L)

Zu Beginn des Einatemvorganges ist das Atemvolumen minimal und beträgt 2,75 L. Nach 2 s wird das maximale Volumen erreicht.

Bestimmen Sie A, ω und φ.

Komme nicht drauf, hilfe...

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Zuerst einmal bildest Du die erste und zweite Ableitung von V(t):

V'(t)=Aω*cos(ω ∙ t + φ)
V''(t)=-Aω²*sin(ω ∙ t + φ)

Zu Beginn des Einatmens (also bei t=0) ist das Volumen minimal
=> V'(0)=0 und  V''(0)>0
=> V'(0)=Aω*cos(ω ∙ 0 + φ) => cos(φ)=0 => φ=-π/2 oder φ=π/2
φ in V''(0) einsetzen. Da V''(0)>0 sein muss, muss sin(φ)<0 sein (weil -Aω²<0 ist).

=> sin(-π/2)=-1<0; sin(π/2)=1>0 => φ=-π/2

Nach t=2 s ist das Maximum erreicht, d. h. V'(2)=0 => cos(ω ∙ 2 - π/2 )=0
=> (cos wird alle x*π=0) => ω ∙ 2 = π => ω=π/2(Zwischenstand: V(t)=3 + A ∙ sin(π/2 ∙ t - π/2))

Zu Beginn des Einatmens ist V=2,75 L
=> V(0)=2,75 => 3+ A ∙ sin(π/2 ∙ 0 - π/2)=2,75 => 3+A*(-1)=2,75 => A=0,25
=> V(t)=3+0,25 * sin(π/2 ∙ t - π/2)

Antwort
von WeicheBirne, 6

Zu Beginn des Einatemvorganges ist das Atemvolumen minimal und beträgt 2,75 L.

Also V(0)=3 L + A ∙ sin(φ)=2,75 L

Wenn dieses Volumen das Minimalvoumen sein soll muß  sin(φ) minimal also -1 sein. Das ist für φ=–π/2 gegeben.

In die obere Gleichung eingesetzt kriegen wir

3 L - A = 2,75 L

Folglich gilt A=0,25 L


Wenn das Atemvolumen nach zwei Sekunden maximal sein soll, muß sin(ω ∙ t + φ) zu diesem Zeitpunkt maximal, also 1, sein.

1=sin(ω∙2 s –π) ist für ω=π/2 1/s erfüllt.


Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community