Frage von xLaraJacksonx, 29

Wie liest man das Verhalten im Unendlichen am Graphen ab?

Hallo, ich hab eine Frage zum Verhalten im Unendlichen. Wenn der Graph unterhalb der X-Achse nach steigt aber vor der X-Achse bei etwa y= -4 abflacht, wie ist dann das Verhalten zu beschreiben? Als gegen minus unendlich weil er im negativen Wertebereich ist oder gegen plus unendlich weil er steigt? Ich würde mich sehr über Antworten und Erklärungen freuen :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Es kommt sehr stark darauf an, was für eine Art von Funktion du hast.

Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem Verhalten, für x -> +∞ und für x -> -∞ sowie Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel. (Manchmal gibt es auch wesentliche Singularitäten, in deren Nähe der Funktionswert zwar beliebig groß wird, die aber trotzdem nicht als Polstellen aufgefasst werden können, z. B. f(x) = 0 für x=0; f(x) = e^(-1/x²) sonst.)

Von der Beschreibung her könnte es so was sein wie -a^(-x), hier würde die Funktion für x -> +∞ gegen 0 und für x -> -∞ gegen -∞ gehen.

Wenn ich deinen Kommentar richtig interpretiere, geht es aber um rationale Funktionen. Hier gibt es neben den Polstellen maximal eine Asymptote für x -> ±∞. Anhand des Graphen kann man normalerweise recht deutlich sehen, ob der Graph gegen eine Gerade konvergiert oder sich wie eine "Parabel (ggf. höherer Ordnung)" verhält.

Antwort
von precursor, 2

Das hängt voll und ganz von der jeweiligen Funktion ab.

Beispiele -->

y = -12 * x ^ 3 + 2 * x ^ 2 + 0.4

Bei reinen Polynomen wird das Verhalten im Unendlichen von der höchsten Potenz und dem Faktor davor bestimmt, deshalb reicht es, wenn du das Verhalten von -12 * x ^ 3 im Unendlichen bestimmst.

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y = (7 * x ^ 5 - 3 * x ^ 3 + 7 * x) * e ^ (-x)

Hier ist der limes mit x gegen +Unendlich = 0, weil e ^ (-x) für +Unendlich gegen Null strebt.

Für limes x gegen -Unendlich ist es wieder so, wie im Beispiel davor.

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y = (1 + 3 * x) / (0.7 - x ^ 2)

Das Nennerpolynom ist von einem höheren Grad als das Zählerpolynom, deshalb ist der limes gegen die Unendlichkeiten immer Null.

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y = sin (x) / (0.4 * sin(x) + 0.6 * cos(x))

Diese Funktion hat im Unendlichen überhaupt keinen Limes, weil diese Funktion periodisch ist.

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y = (21 * x ^ 2 + 13 * x - 6) * sin(x)

Diese Funktion hat Grenzwerte, weil sie nicht periodisch ist.

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Und so weiter und so weiter.

Antwort
von Zwieferl, 1

Einfach hinfahren und schauen, was sie dort anstellt - ist aber ziemlich mühsam ;-)

Im Ernst: Es kommt auf die Art der Funktion an.

Beispiel: f(x)=1/x .... wenn du wiisen wie sie sich verhält, überlege, wie sich 1/x verhält, wenn x immer größer wird → 1/x wird immer kleiner, kann aber nie genau 0 werden, egal wie groß x ist → die Funktion 1/x strebt für x→∞ gegen 0 (allerdings ist diese fallend; wenn du ein Minus davorstellst, ist steigend, flacht also ab)

Beispiel2: g(x)=2x+3 → was passiert mit g(x) - sprich: dem y - wenn x immer größer wird (also gegen ∞ geht): g(x) wird ebenfalls immer größer, geht also gegen ∞.

ABER: Nicht jede Funktion, die "abflacht", hat einen Grenzwert!

z.B: h(x)=ln(x) .... diese flacht für zunehmendes x ebenfalls ab, geht aber ebenfalls gegen ∞ - d.h. sie ist unbeschränkt.

Antwort
von Galdur, 14

Etwas genauer bitte. Hast du ein Foto von dem Graphen?

Antwort
von HeniH, 16

Die Frage ist ziemlich unklar.

Was liegt Dir vor: der Graph oder die Funktion? Was auch immer es von der Aufgabe gibt, bitte posten.

Danke!



Kommentar von xLaraJacksonx ,

Die Frage ist mehr allgemein gemeint, aber z.B. (- x^2 + 5x^5 / x^5 - 8x^2 ) + 1 sieht so aus. Einfach eine Funktion deren Graph unterhalb der X-Achse steigt

Kommentar von HeniH ,

Da macht man einfach  lim    [(5x^5 - x2)/x^5 -8x2) +1] = 6
                                    x->∞

Warum?

Es zählen nur die Monome mit den größten Potenzen bei Zählern und Nenner. In unserem Fall ist die Potenz vom Zähler gleich der vom Nenner, also ist lim = 5x^5/x^5 = 5 und dann die 1 dazu außerhalb des Bruches und das Verhalten bei Unendlich ist der Wert lim also 6.

Das nennt man auch der Graph hat eine Horizontale Asymptote y = 6 bei + und - Unendlich.

Wenn die größte Zählerpotenz größer ist als die größte Nennerpotenz, dann ist lim = ∞

Wenn die größte Zählerpotenz größer ist als die größte Nennerpotenz, dann ist lim = 0.

LG,

Heni

Kommentar von HeniH ,

Korrektur (der letzte Satz muss so lauten):

Wenn die größte Zählerpotenz kleiner ist als die größte Nennerpotenz, dann ist lim = 0.

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