Frage von ajakajaka, 27

Wie lese ich die Mathematische Formulierung mit Wörter?

Guten Tag,ich habe zwei Aufgaben in Ana I und bräuchte Hilfe bei der Übersetzung von Zeichen zu Wörter damit ich die Begriffe nachschlagen kann. Ich freue mich auf eine Wörtliche/ Umgangsprachliche Formulierung wenn es möglich ist.

Ich poste noch 2 Fotos dazu.

Foto 1: ist A eine Teilmenge von M mit der eigenschaft dass A alle M Teilmengen besitzt?

Foto 2: wie lese ich f mit Index M ohne A?

Vielen Dank im Voraus

Antwort
von eddiefox, 3

Zum ersten Bild:

P(M) ist die Menge aller Teilmengen von M.

Darauf werden zwei Operationen definiert, ein "+" und ein "x"
d.h. aus zwei Teilmengen A und B von M wird jeweils eine neue
Teilmenge von M definiert.

Was bedeutet A + B := (A∪B) \ (A∩B) , bzw. was ist A+B für eine Menge?

A+B besteht aus den Elementen von A und den Elementen von B, aber nicht aus den Elementen, die sowohl in A als auch in B liegen.

Mit "+" wirft man sozusagen die Elemente von A und B zusammen, aber lässt die Elemente weg, die A und B gemeinsam haben.
("+" ist eine disjunkte Vereinigung)

Dann definiert man ein "x" (ein "mal") mit den Durchschnitt:

A x B := A∩B

In AxB sind die Elemente, die sich sowohl in A als auch in B befinden
(also genau die, die man bei "+" weglässt).

Nun muss man zeigen, dass die Menge aller Teilmengen von M,
also P(M), mit den zwei Verknüpfungen "+" und "x" ein Ring ist.

D.h. man muss zeigen:

(P(M), +) ist eine abelsche Gruppe, d.h.
f ür alle Teilmengen A, B, C aus M muss man nachweisen dass gilt:

A+B = B+A
(A+B)+C = A+(B+C)

Existenz des Neutralen Elements bzgl. "+":
Es muss eine Teilmenge O von M geben, für die gilt:
O+A = A+O = A

Existenz eines inversen Elements:
Zu jeder Teilmenge A muss es eine Teilmenge B geben
mit A+B = O

Für die "Multipliikation" x muss gelten:

(AxB)xC = Ax(BxC) und
Ax(B+C) = AxB + AxC

Gruss

Antwort
von eddiefox, 12

Hallo

f "tiefer"| M\{a} bedeutet "Abbildung f eingeschränkt auf M ohne a".

Diese Abbildung geht von M\{a} (M ohne a) nach

N \ {f(a)} (N ohne das Element f(a).

Die Abbildung f|M\({a} ist definiert durch

x → f(x), d.h. "x aus M" wird auf "f(x) aus N" abgebildet.

Es ist also die gleiche Abbildung wie f : M → N (f von M nach N), nur das man aus den Mengen M und N die Elemente a  respektive f(a) rausgenommen hat.

Beispiel:

Sei M = {1; 5; 8},
N = {2; 10; 20}    und f  folgende Abbildung :

f(1) = 2 ,
f(5) = 20 ,
f(8) = 10

Dieses f ist eine Abbildung von M nach N, und f ist bijektiv.

f | M\{5} ist die Abbildung f eingeschränkt auf "M ohne 5", also

f eingeschränkt auf {1; 8}.

Sie geht nach  "N ohne f(5)", also nach "N ohne 20",
also auf {2; 10}

Kürzer: f | M\{5} ist die Abbildung von {1; 8} auf {2; 10}

Sie sieht so aus: f(1) = 2, f(8) = 10.

f ist also die gleiche Abbildung wie vorher, nur hat man aus M die 5 rausgenommen, und aus N die f(5) = 20 rausgenommen.

Ich hoffe dass es hilft etwas.

Gruss

Antwort
von WiihatMii, 11

Das ist ein bisschen viel, aber ich werde mal ein paar Dinge zu der ersten Aufgabe klären.

Die Potenzmenge von M ist die Menge aller Teilmengen von M.

Du kannst den ersten Satz so lesen P(M) (Also die Potenzmenge von M) ist die Menge der Elemente (genannt A), die die Eigenschaft haben, eine Teilmenge von M zu sein.

Hier findest du eine Liste der meisten Symbole:
https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_mathematischer_Symbole

Die Definition eines mathematischen Rings findest du hier unter dem Abschnitt "Definition". Du musst dafür allerdings wissen, was eine Halbgruppe und was eine abelsche Gruppe ist:

https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_(Algebra)#Ring

Kommutativ bedeutet vertauschbareit. Das Kommutativgesetzt besagt, dass Ergebnisse sich nicht verändern, wenn die Elemente vertauscht werden. Zum Beispiel beim Multiplizieren mit reellen Zahlen.

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