Frage von jassix333, 59

Wie leite ich f(x)=x/x-1 mit der Produktregel ab?

Wie leite ich f(x)=x/x-1 mit der Produktregel ab? Ich hoffe mir kann jemand helfen. Schonmal Vielen Dank.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 22

Hallo,

eigentlich leitet man dies nach der Quotientenregel ab:

f(x)/g(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))²

f(x)=x; f'(x)=1; g(x)=x-1; g'(x)=1

(f(x)/g(x))'=((x-1)-x)/(x-1)²=-1/(x-1)²

Wenn Du unbedingt nach der Produktregel ableiten möchtest, formst Du f(x) in

x*(1/(x-1)) um und bekommst nach der Regel f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

(1/(x-1))-x/(x-1)²=(x-1-x)/(x-1)²=-1/(x-1)²

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von jassix333 ,

Dankeschön Lg

Kommentar von KDWalther ,

Hast Du 1/(x-1) nicht aber auch nach Quotientenregel abgeleitet?
Die wird heute immer seltener in der Schule besprochen.

Ich vermute, dass der Weg, den FataMorgana beschrieben hat, derjenige welche ist :-)

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

hab ich, natürlich. Eigentlich nach der Kettenregel und nach der Standardableitung (1/x)'=-1/x² oder x^-1=-1*x^-2.

Ich hatte die Ableitung von 1(x-1) als bekannt vorausgesetzt.

Im Grunde ist die Quotientenregel auch eine Art Produktregel mit Brüchen als Faktoren.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von KDWalther ,

Im Grund hatte ich meinen Kommentar mehr an jassix333 geschrieben :-)

Dass Du die Ableitungen solch einfacher Funktionen auf dem Schirm hast, war mir schon klar :-))

Antwort
von FataMorgana2010, 23

Ich nehme mal an, dass du 

x/(x-1) meinst, ja? Wenn im Nenner (wie bei deiner Schreibweise) nur das x steht, dann könnte man ja einfach kürzen. 

Dann ist 

f'(x) = (x / (x-1))' = (x  * (x-1)^(-1)) '

= 1 * (x-1)^(-1)  +  x * (-1) (x-1)-²  

= 1/(x-1) + (-x)/(x-1)²

= (x-1)/(x-1)² - x/(x-1)² = -1/(x-1)²


Oder anders gesagt: Du kannst 1/(x-1) auch schreiben als 

(x-1)^(-1). 

Und damit hast du dann

f(x) = x *  (x-1)^(-1)

Das kannst du mit der Produktregel ableiten. 

Kommentar von jassix333 ,

Lieben Dank

Antwort
von zalto, 17

Du ziehst den Bruch in ein Produkt auseinander:

f(x) = x * 1/(x-1)

Dann kannst Du die Produktregel anwenden

f'(x) = 1 * 1/(x-1) + x * (-1/(x-1)²) =

Ausmultipizieren

1/(x-1) - x/(x-1)² =

Auf den gleichen Nenner  (x-1)² bringen

(x-1)/(x-1)² - x/(x-1)² =

-1/(x-1)²

Kommentar von jassix333 ,

Dankeschön

Antwort
von Roach5, 19

Also du nennst u(x) = x und v(x) = 1/(x-1), u'(x) = 1, v'(x) = -1/(x-1)²

Dann gilt: 

(uv)'(x) = u'v(x) + uv'(x)

 = 1 * 1/(x-1) + x * -1/(x-1)² 

= (x-1)/(x-1)² - x/(x-1)² 

= -1/(x-1)².

LG

Kommentar von jassix333 ,

Vielen Dank. Lg

Antwort
von gilgamesch4711, 2

  Ich mach dir einen Gegenvorschlag: Polynomdivision  ( PD )

   x  /  (  x  -  1  )  =      (  1a  )

   =  (  x  -  1  )  /  (  x  -  1  )  +  1  /  (  x  -  1  )  =       (  1b  )

     =  1  +  1  /  (  x  -  1  )       (  1c  )   

   Eure Lehrer sind schon komisch. Die PD missbraucht ihr für alle unmöglichen Sachen, wo man sie gar nicht braucht.  Und zwar ist ( 1c ) eine Hyperbel. Ich schreibe noch die Ableitung hin, damit du nicht doch noch in letzter Sekunde auf irgendeine voll abwegige Regel verfällst:

     f  '  (  x  )  =  -  1  /  (  x  -  1  )  ²       (  2  )

   Und zwar ( 2 ) ohne komplizierte Umwege direkt aus ( 1c )    

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