Frage von Vulkanon, 34

Wie leite ich folgende Gleichung ab?

f(x)= 12/(5x^4-3)^3

Wäre nett wenn jemand mir klären könnte,wie ich auf die Lösung komme ,danke :)

Antwort
von XL3yed, 8

Du musst erst den Bruch auflösen:
12 (5x^4-3)^-3 und das kann man jetzt ableiten mit der Produktregel und der Kettenregel:

Produktregel (zuerst Kettenregel)
U= 12 U'=0
V= (5x^4-3)^-3 V'= (-3(5x^4-3)^-4) * (20x^3)

Lösung: 12 * ((-3(5x^4-3)^-4) * (20x^3))

Kettenregel
V= (5x^4-3)    V'= 20x^3
U = V^-3   U'= -3V^-4

->  (-3(5x^4-3)^-4) * (20x^3)

Antwort
von regex9, 14

Leite erst den Term unter dem Bruchstrich mit der Kettenregel ab, nutze danach die Quotientenregel.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 10

Beim Ableiten kannst du immer stur die Regeln anwenden.

Oft kann man sich die Sache vereinfachen, indem man den Term vorher vereinfacht und sich anschaut, welche Regel wohl am einfachsten als nächste anzuwenden ist.

Hier ist nicht viel zu vereinfachen.

Als erstes ziehen wir die 12 heraus - die ist ja eine multiplikative Konstante:

f(x) = 12 * 1/(5x^4 - 3)^3 = 12 * (5x^4 - 3)^(-3)

f'(x) = 12 * f1'(x)

mit f1(x) = (5x^4 - 3)^(-3)

(Wir hätten natürlich auch die Produktregel für Funktionen nehmen können, oder sogar die Quotientenregel; die Ergebnisse wären natürlich dieselben, aber die Rechnung wäre erheblich aufwendiger.)

Auf f1 können wir die Potenzregel nicht ohne weiteres anwenden, weil die Basis nicht x ist, sondern ein komplizierterer Ausdruck.

Damit können wir auf diese Funktion nur die Kettenregel sinnvoll anwenden:

f1'(x) = f2'(f3(x)) * f3'(x)

mit f2(x2) = x2^(-3)  und  f3(x3) = 5x3^4 - 3

Auf f2(x2) wenden wir die Potenzregel an: f2'(x2) = (-3) x2^(-4)

Bei f3 lassen wir den konstanten Summanden sausen (Summenregel; Regel für konstante Funktionen): f3'(x3) = f4'(x4)  mit  f4(x4) = 5 x4^4

Wieder haben wir eine multiplikative Konstante. Danach kommt wieder die Potenzregel zum Einsatz.

Zum Schluss setzen wir rückwärts alle Funktionen wieder ein, bis wir nur noch f'(x) da stehen haben.

Antwort
von SweatTechnique, 6

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