Wie leite ich diesen Bruch hier ab?

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5 Antworten

f(x) = 2 / (1 + 2x) ^ 2

Dafür kannst du auch schreiben -->

f(x) = 2 * (1 + 2 * x) ^ (-2)

Den Faktor 2 kannst du gemäß der Faktorregel beim ableiten vorerst außer acht lassen, also geht es erst mal nur um -->

(1 + 2 * x) ^ (-2)

Das möchtest du ableiten.

Es gilt innere Ableitung mal äußere Ableitung.

Innere Funktion -->

u(x) = 1 + 2 * x

Kurzschreibweise u = 1 + 2 * x

Innere Ableitung

u´ = 2

Äußere Funktion -->

u ^ (-2)

Äußere Ableitung -->

(-2) * u ^ (-3)

innere mal äußere Ableitung -->

2 * (-2) * u ^ (-3)

Jetzt kommt noch der Faktor 2 wieder hinzu, den wir erst mal außer Acht gelassen hatten -->

2 * 2 * (-2) * u ^ (-3) = -8 * u ^ (-3)

Für u setzen wir wieder die Identität von u (siehe oben) ein -->

f´(x) = -8 * (1 + 2 * x) ^ (-3)

Dafür können wir wieder schreiben -->

f´(x) = -8 / ((1 + 2 * x) ^ 3)

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Kommentar von precursor
27.08.2016, 22:44

P.S -->

Dadurch kannst du es auch verallgemeinern.

f(x) = a / (b + c * x) ^ n

f´(x) = - (a * c * n) / ((b + c * x) ^ (n + 1))

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Kommentar von HanzeeDent
27.08.2016, 23:10

Wunderschöne Erklärung, gefällt mir!
Prägnant aber ausführlich, super :)

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Sei f(x) = 2/(1+2x)^2 , mit 1+2x = 0 für x = -1/2 folgt also die Stetigkeit der Funktion auf IR\\{-1/2}. Wir schreiben die Funktion nun mithilfe des Potenzgesetzes:   1/x = x^(-1)  ; um. Es folgt:

f(x) = 2*(1+2x)^(-2)

Seien nun g(x) = 2x^(-2)    und    h(x) = 1+2x, es lässt sich somit f als die Verkettung der beiden Funktionen g und h schreiben mit:

f(x) = g(h(x))

g ist stetig diffbar auf IR\\{0} und h ist als Polynom 1.Grades beliebig oft stetig differenzierbar. Mithilfe der Kettenregel folgt also:

(g(h(x)))´= h´(x)*g´(h(x))

mit h´(x) = 2  mit der Ableitungsregel für Polynome

und g´(x) = -4x^(-3)  mit der Ableitungsregel für Polynome

Einsetzen liefert schließlich:

= 2*(-4)*(1+2x)^(-3) = (-8)/(1+2x)^3

Damit lautet also die Ableitung der Funktion f mithilfe der Kettenregel:

f´(x) = (g(h(x)))´= (-8)/(1+2x)^3

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du formulierst halt um zu 2 * (1/ (1+2x)^2) und wendest die Reziprokenregel an.

google mal reziprokenregel!

Außerdem muss man für den Df schauen, welche Werte man einsetzten kann und welche nicht. Ein Tipp: Der Nenner darf nicht Null werden, da irgendwas durch null nicht definiert ist!



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"äußere Ableitung mal innere Ableitung":

äußere Ableitung:  2* (1+2x)^(-2)  ->   2 * (-2) * (1+2x)^(-3)
innere Ableitung 1+2x  ->  2

->

-8 /(1+2x)^3

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Schritt1: Umformen des Funktionsterms

Es gilt das Potenzgesetz 1 / a^n = a^(-n)

Also in unserem Fall:

f(x) = 2 / (1+2x)^2 = 2 * (1+2x)^(-2)

Schritt2: Ableiten mit Kettenregel

f '(x) = 2 * (-2) * (1+2x)^(-3) * 2

= -8 * (1+2x)^(-3)

Schritt3: Umformen des Funktionsterms

f '(x) = -8 / (1+2x)^3

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