Frage von Externvortex, 60

Wie leite ich die Formel der Wurfweite beim schrägen Wurf aus dieser Formel her?

Hallo Leute :)

Ich muss als Hausaufgabe für meinen Physik LK die Formel der Wurfweite bei einem schrägen Wurf aus der folgenden Gleichung herleiten.. Sitze jetzt schon seit Tagen dran, aber ich finde einfach nicht den richtigen Weg.. Immer wenn ich glaube nah dran zu sein entsteht ein neues Problem und ich kann es erneut nicht Lösen :(

Hier die Formeln:

Aus der Gleichung: (a ist Alpha, der Abwurfwinkel), (x = W / 2) (W = Wurfweite) (g = Ortsfaktor)

         y = x * tan(a) - g * x^2 / (2 * v^2 * cos(a)^2) 

soll eine Formel für die Wurfweite werden Hab schon wie gesagt viele verschiedene Wege versucht, bin auch glaube ich momentan nah dran, aber mir fehlt einfach irgendetwas..

Vielen Dank im vorraus :)

Antwort
von Geograph, 14

Schräger Wurf mit
Abwurfgeschwindigkeit v und Abwurfwinkel α

horizontale Wegstrecke
(1)    x(t) = v ∙ t  ∙ cos(α) >>>  t  = x(t) / (v ∙ cos(α))

vertikale Wegstrecke
(2)    y(t) =  v ∙ t ∙ sin(α) – g/2 ∙ t²

einsetzen (1) in (2)
(3)    y(x) = x ∙ sin(α)/cos(α) – g/2 ∙ x² / (v² ∙ cos²(α))

Wenn die Höhe y = 0 ist, ist
x entweder der Abwurfpunkt oder die Wurfweite

Gesucht sind also die Nullstellen der Funktion y(x)
(3) umgeformt
y = x ∙ (sin(a) – g/2 ∙ x / (v² ∙ cos(α)) / cos (α)

Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist
1. Nullstelle bei x = 0 (Abwurfpunkt)
2. Nullstelle bei
sin(α) – g/2 ∙ x / (v² ∙ cos(α)) = 0 
x = v² ∙ cos(α) ∙ sin(α) ∙ 2/g

mit Additionstheorem
cos(α) ∙ sin(α) = sin(2α)/2

x = v² ∙ sin(2α) /g 
(Wurfweite)

Um die maximale Wurfhöhe zu bestimmen, müßtest Du die erste Ableitung der Gleichung (3) null setzen.

Kommentar von Geograph ,

Danke für das Kompliment

Antwort
von Halswirbelstrom, 27

y = f(x) = x · tan(α) – g / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

0 = x · tan(α) – g · x² / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

0 = x · (tan(α) – g · x / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

→   x1 = 0   (Abwurfstelle)

 0 = tan(α) – g · x / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

tan(α) = g · x / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

x2 = 2 · (vₒ)² · cos²(α) · tan(α) / g = 2 · (vₒ)² · cos²(α) · { sin(α) / cos(α) } / g

x2 = 2 · (vₒ)² · cos(α) · sin(α) / g = 2 · (vₒ)² · sin(2·α) / g

x2 = sw   (Wurfweite)

LG

Kommentar von Halswirbelstrom ,

In der dritten Zeile ist eine Klammer zu viel.

0 = x · tan(α) – g · x / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) )

Kommentar von Halswirbelstrom ,

Kommando zurück:

0 = x · ( tan(α) – g · x / ( 2 · (vₒ)² · cos²(α) ) )


Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 18

http://www.abi-physik.de/buch/mechanik/schraeger-wurf/

vielleicht hilfts.

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