Frage von 10024051, 52

Wie lautet diese Funktionsgleichung?

Hallo, ich bitte um Hilfe.

Ich verstehe einfach nicht, wie man diese Funktiongleichung aufschreibt.

Könnte mir bitte jemand helfen?

Danke im Vorraus für jede Antwort. :)

Antwort
von gigrais, 17

Ok, wir vermuten mal es wäre eine veränderte Parabel.
Also sowas wie: f(x)= a*x^2 + c
c können wir direkt ablesen, denn der Graph ist ja um 3 nach oben verschoben:
c=3.
Nehmen wir einen Punkt z.B. (1.6) und setzen ein:
6=a*1^2 + 3 
6=a +3
a=3

Also insgesamt haben wir f(x) = 3x^2 + 3.

Sicherheitshalber überprüfen wir andere Stellen:
f(0,5)=3*0,25 +3 = 3,75 
Passt sogar mit der Zeichung.
Fertig?

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 15

Ist doch easy:


Scheitelpunktform:

y=a*(x-xs)²+ys (xs=x-Koordinate des Scheitelpunktes, ys=y-Koordinate des Scheitelpunktes)


Scheitelpunkt S(0|3) ablesen und einsetzen:

y=a*(x-0)²+3 | vereinfachen

y=ax²+3


Jetzt einen Punkt ablesen, um den Faktor a auszurechnen, z.B. P(1|6) und einsetzen:

6=a*1²+3

6=a+3 | -3

3=a,

also


y=3x²+3

Kommentar von 10024051 ,

Vielen vielen Dank! Jetzt habe ich es verstanden. Kann man dies mit beliebigen Parabeln machen?

Kommentar von MeRoXas ,

Jap!

Alternativ kannst du auch drei Punkte ablesen und ein Gleichungssystem aufstellen und das dann lösen ; der Ansatz oben geht aber meist schneller.

Antwort
von Help4, 20

Also f(x)=(4/0,5)x
Ich bin mir nicht sicher

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 6

Dies ist die einfachste Form der Parabel y=f(x)=a * x^2 + C

Die Scheitelpunkte liegen hier bei x=0 und y=C

bei dir ist c=3 sieht man sofort

a ist der Streckungsfaktor

a>0 Parabel nach oben offen, Minimum vorhanden

a<0 nach unten offen ,Maximum vorhanden

a>1 Parabel gestreckt,oben schmal

0<a<1 Parabel gestaucht , oben breit

c>0 verschiebt die Parabel nach oben

c<0 verschiebt nach unten

HINWEIS : Wenn du C hast,brauchst du noch einen Punkt P1=(x1/y1) um den Streckungsfaktor zu berechnen.

y1= a *x1^2 + 3 ergibt a= (y1-3)/x1^2

Kommentar von 10024051 ,

Vielen Dank!

Expertenantwort
von TechnikSpezi, Community-Experte für Computer, Schule, PC und Hardware, 13

Hey! :)

Also, fangen wir mal an.

Das erste und einfachste, was du direkt sehen kannst:

Der Scheitelpunkt. Das ist also der Punkt, wo sich der Graph wendet, in diesem Fall also der tiefste Punkt des Graphen.

Dieser (Scheitel-) Punkt liegt bei S( 0 | 3).

Dadurch weißt du auch, dass die Parabel um 3 (Längeneinheiten) nach oben verschoben wurde.

Dadurch wissen wir:

f(x) = a(x-0)² + 3

Nun müssen wir den Vorfaktor a, den Stauch- und Steckfaktor noch ermitteln.

Dazu suchst du dir den nächsten Punkt aus, durch den die Parabel liegt. Am einfachsten einfach nach dem Scheitelpunkt und auf der rechten Seite. Der nächste Punkt wäre P(1|6). Die Parabel geht also durch genau diesen Punkt.

Mathematisch heißt das:

f(1) = 6

Das können wir nachher nutzen, um zu überprüfen, ob die aufgestellte Funktionsgleichung korrekt ist.

Du hast also nun 2 Punkte:

S(0|3)     ► f(0) = 3

P(1|6)     ► f(1) = 6


Jetzt wollen wir aber erst einmal den Vorfaktor a, also den Stauch- und Streckfator berechnen bzw. bestimmen.


Mathematisch berechnen tust du das ganze einfach mit einer Gleichung. Du setzt einfach einen x-Wert aus einem Punkt ein, den der Graph schneidet. Nehmen wir z.B. mal den Scheitelpunkt P(1|6), also f(1), = 6 ein.

6 = a(1-0)² + 3

Das ganze löst du nun nach a auf:

6 = a(1)² + 3

6 = a*1 + 3

6 = a + 3 |-3

a = 3

Das heißt, der Vorfaktor bzw. Stauch- und Streckfaktor der Funktion ist a=3!

Fertig ist die Funktion!

Die Funktion f lautet:

►►  f(x) = 3(x-0)² + 3

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Nun prüfen wir das ganze mal mit der Punktprobe:

f(0) = 3

Das heißt wir setzten 0 ein und es muss also 3 rauskommen.

f(0) = 3(0-0)² + 3

f(0) = 3 * 0 + 3

f(0) = 3

Stimmt also!

Das selbe kannst du natürlich auch mit anderen Punkten machen!

Im Bild siehst du die Funktion noch einmal als Graphen.

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Bei weiteren Fragen einfach melden! :)

Liebe Grüße

TechnikSpezi

Kommentar von 10024051 ,

Vielen lieben Dank für diese ausführliche Antwort! Ich wollte fragen, ob es wirklich stimmt, dass man auch einfach anhand der Parabel im Koordinatensystem die Funktionsgleichung ablesen kann. Das hat ein Klassenkamerad behauptet.

Kommentar von TechnikSpezi ,

Ja, das geht auch.

Du machst hier ja auch fast keine Rechnung. Das einzige, was du wirklich berechnet hast, ist der Vorfaktor a.

Diesen kannst du auch ablesen.

Das funktioniert fast so, wie damals bei linearen Funktionen mit dem Steigungsdreieck.

Nochmal, unsere Punkte:

S(0|3)

P(1|6)

Du kannst jetzt von Punkt S zu Punkt P wandern, und dabei dann den Faktor a ablesen.

Du gehst erst einmal immer von der Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x² aus.

Bei der Normalparabel gehst du vom Ursprung immer eine Längeneinheit nach rechts, und dann eine nach oben. Genau dort schneidet die Parabel den Punkt dann. Nun siehst du aber, dass das hier nicht der Fall ist und du weiter nach oben musst (siehe Bild bzw. deine Zeichnung).

Du musst hier 3 Einheiten nach oben, um den Graphen wieder zu treffen.

Nun aufgepasst, es ist etwas komplizierter.

Der Funktionswert der gegebenen quadratischen
Funktion ist dreimal so groß wie der Funktionswert der
Normalparabel.

Daher lautet der Stauch- und Streckfaktor hier a=3.

Nochmal etwas einfacher erklärt:

Du gehst also einen Schritt nach rechts. Nun zählst du, wie viele Schritte du nach oben musst, um den Graphen wieder zu treffen. Diese Anzahl der Schritte, die du nach oben machen musst.

Das ist hier noch ziemlich einfach, weil du bei der Normalparabel einen nach rechts und oben gehst. Das heißt widerum, die Anzahl der Schritte nach oben, also in unserer Funktion die 3 Schritte, die du dann mit der 1 multiplizieren musst, ergibt natürlich auch wieder 3.

Nochmal anders erklärt:

Du gehst erst einmal einen Schritt nach rechts. Nun zählst du, wie viele Einheiten du nach oben musst, bis du auf den Punkt triffst, wo der Graph wieder schneidet. Die Anzahl, die du nach oben gegangen bist, ist nun dein Stauch- und Streckfaktor!

Das war glaube ich am einfachsten zu verstehen, oder? Das ist so mit Worten wirklich blöd zu erklären, wäre mit einer Tafel oder sonstigem deutlich leichter.

Falls du das also immer noch nicht verstanden hast, dann sag mir das und stelle am besten noch einmal konkreter eine Frage und sag, was genau du daran nicht verstanden hast! :)

Hier findest du das ganze nochmal mit graphischer Unterstützung:

http://www.mathematik.net/quad-fkt/streckungen-s2.htm

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

Antwort
von Help4, 15

(4/0,5)
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