Frage von 0ahnung123, 73

Wie lautet die Ableitung von 2^x?

Hallo zusammen,

kann mir jemand sagen, wie man 2^x ableitet??? Oder hat jemand eine Idee, wie man es herausfinden kann???

Das brauche ich für eine Kurvendiskussion und ich hänge total fest -,-.

Bitte mit Erklärung!!!!

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 41

Hallo,

da mußt Du ein wenig tricksen.

2^x ist das Gleiche wie e^[ln(2^x)]

Da e die Basis des natürlichen Logarithmus ist, kannst Du jede Zahl x>0 als e^[ln(x)] ausdrücken.

Nach den Logarithmengesetzen aber ist ln(2^x) dasselbe wie x*ln(2).

2^x ist also gleich e^[x*ln (2)]

Das aber kannst Du einfach nach der Kettenregel (innere mal äußere Ableitung) ableiten. Die Ableitung von e hoch irgendwas ist wieder e hoch irgendwas, die Ableitung von ln (2)*x ist ln (2)

So kommst Du auf die Ableitung ln (2)*2^x, denn den komplizierten Ausdruck e^[x*ln (2)] kannst Du ja wieder durch das gleichwertige 2^x ersetzen.

Allgemein:

f(x)=a^x

f'(x)=ln (a)*a^x

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Korrelationsfkt ,

Ein "Trick", den ich schon hundertemale vergessen habe ;-)

Kommentar von Willy1729 ,

Ging mir auch schon so. Aber inzwischen hat sich's wieder eingeschliffen.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 27

Hier muss nach der allgemeinen Potenzregel (bzw. der Kettenregel) abgeleitet werden:

aⁿ = e^ln(a^n) = e^(n * ln(a))

Und wie du eine e-Funktion ableitest, weißt du hoffentlich:

(2ⁿ)' = (e^(n * ln(2)))' = ln(2) * 2ⁿ

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Antwort
von Khoonbish, 36

Du musst ausnutzen, dass e^ln(r) = r und  ln(a^b) = b*ln(a)  sind, denn so kannst du erstmal zeigen, dass

2^x = e^ln(2^x) = e^(x*ln(2))

Das abgeleitet ergibt

ln(2) e^(x*ln(2)) = ln(2) * 2^x.

Antwort
von iokii, 42

Du schreibst 2^x als e^(ln(2^x)), dann benutzt du das logarithmusgesetz ln(a^b)=b * ln(a) und die Kettenregel und du kriegst es abgeleitet.

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