Frage von Jojoleen, 24

Wie lauten die erste und zweite Ableitung dieser Gleichung? ?

Ich habe die zweite Gleichung schon angegeben gehabt ls Kontrolle. Aber egal wie sehr und oft ich es versuche ich komme nicht drauf wie ich dahin komme. Die Gleichung:

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 3

Die Produktregel kennst Du ja, zusätzlich musst Du daran denken, dass wenn Du e^ ableitest Du zusätzlich auch den Exponenten von e noch ableiten musst und als Faktor hinzufügst (das ist dann die Kettenregel). Anschließend e^ wieder ausklammern und den Rest in der Klammer so weit wie möglich zusammenfassen:

f(x)=(x²-10x+24)e^(1/2x)
f'(x)=(2x-10)e^(1/2x) + (x²-10x+24)e^(1/2x) * 1/2
     
=e^(1/2x) * (2x-10+1/2x²-5x+12)
      =e^(1/2x) * (1/2x²-3x+2)

f''(x)=e^(1/2x) * 1/2 * (1/2x²-3x+2) + e^(1/2x) * (x-3)
       =e^(1/2x) * (1/4x²-3/2x+1+x-3)
       =e^(1/2x) * (1/4x²-1/2x-2)

Kommentar von Jojoleen ,

Meine Güte ich bin doch so dumm. Danke ich erinnere mich wieder. Habe die Ableitung durchgeführt. Das war genau das fehlende Glied. Habe es gut nachvollzogen. 

Antwort
von precursor, 1

Das kannst du verallgemeinern -->

f(x) = u(x) * e ^ (v(x))

u(x) ist eine Funktion von x und v(x) ist eine Funktion von x

Es gilt dann -->

f´(x) = (u´(x) + v´(x) * u(x)) * e ^ (v(x))

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Vorführung anhand deines Beispiels -->

f(x) = u(x) * e ^ (v(x))

f(x) = (x ^ 2 - 10 * x + 24) * e ^ ((1 / 2) * x)

Also -->

u(x) = x ^ 2 - 10 * x + 24

v(x) = (1 / 2) * x

Jetzt bildet man von u(x) und v(x) getrennt die ersten Ableitungen -->

u´(x) = 2 * x - 10

v´(x) = (1 / 2)

Nun hatten wir ja gesagt -->

f´(x) = (u´(x) + v´(x) * u(x)) * e ^ (v(x))

Das bedeutet bei deinem Beispiel -->

f´(x) = (2 * x - 10 + (1 / 2) * (x ^ 2 - 10 * x + 24)) * e ^ ((1 / 2) * x)

Das kann man noch vereinfachen -->

f´(x) = (2 * x - 10 + (1 / 2) * x ^ 2 - 5 * x + 12) * e ^ ((1 / 2) * x)

f´(x) = ((1 / 2) * x ^ 2 - 3 * x + 2) * e ^ ((1 / 2) * x)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ausgehend davon kann man nun die zweite Ableitung nach demselben Muster bilden -->

u(x) = (1 / 2) * x ^ 2 - 3 * x + 2

v(x) = (1 / 2) * x

u´(x) = x - 3

v´(x) = (1 / 2)

Bilden von (u´(x) + v´(x) * u(x)) * e ^ (v(x))

(x - 3 + (1 / 2) * ((1 / 2) * x ^ 2 - 3 * x + 2)) * e ^ ((1 / 2) * x)

kann man noch vereinfachen -->

((1 / 4) * x ^ 2 - (1 / 2) * x - 2) * e ^ ((1 / 2) * x)

f´´(x) = ((1 / 4) * x ^ 2 - (1 / 2) * x - 2) * e ^ ((1 / 2) * x)

Antwort
von Adamantan, 13

Kennst Du die Produktregel? Die Klammer entspricht heir der ersten Funktion, e^(1/2x) der zweiten. Dann leitest Du ab gemäß
(f(x)*g(x))' = f'(x)*(g(x) + f(x)*g'(x).

Das vereinfachst Du und leitest nach der gleichen Regel nochmals ab.

Alles klar?

Kommentar von Jojoleen ,

Ich kenne die Produktregel, aber ich komme mit der nicht so klar, habe sie angewendet aber kam auf etwas komisches raus. Und ich brauch die beiden auch um weiter zu rechnen. Also die Ableitungen für die restlichen Aufgaben.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Produktregel und bei e^ auch noch Kettenregel.

Kommentar von Jojoleen ,

Wie geht die Kettenregel?

Kommentar von Ellejolka ,

das gibts bei google?

e^(1/2x)   abgeleitet → 1/2 • e^(1/2x)

und bei f ' dann e^.. ausklammern, bevor du noch einmal ableitest.

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