Frage von xLaraJacksonx, 56

Wie lauten die Ableitungen der Funktion f(x)=1,6*10^13/x^4 * (x-b) (b=100)?

Hallo liebe Leute, gegeben ist die Funktion f(x)=1,6*10^13/x^4 * (x-b) und b ist in diesem Fall 100. Jetzt soll der Hochpunkt berechnet werden und dafür braucht man ja die 1. + 2. Ableitung. Der TR gibt es leider nur fertig ausgerechnet an, also als Zahl mit sehr vielen Nullen. Es wäre sehr nett, wenn jemand die 1. + 2. Abrechnung (gerne mit Lösungsweg) kommentieren könnte! Vielen Dank im Vorraus :)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 19

Kein x im Zähler?
Dann kannst du die Konstante so, wie sie ist, in die Ableitung mitnehmen, hinter den Nenner
^(-1) schreiben
und dann entweder erst ausmultiplizieren und ableiten oder mit der Kettenregel arbeiten.
Leg mal los und erzähl dann in einem Kommentar, wie weit du gekommen bist.

Ob du die ganze Kurvenschar ableitest oder b = 100 setzt, ist dabei relativ egal.

Wenn (x - b) ein Faktor sein sollte, hast du es zwar richtig, aber sehr unglücklich geschrieben.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

Lasse den konstanten Faktor unberührt vorne stehen und leite den Rest dahinter ab:

f(x)=1,6*10^13 * ((x-b)/x^4)                |mit Quotientenregel ableiten

f'(x)=1,6*10^13 * (1*x^4-(x-b)4x³)/(x^4)²)      |Klammern ausrechnen
      = 1,6*10^13 * (x^4-4x^4+4bx³)/x^8          |zusammenfassen
      =1,6*10^13 * (-3x^4+4bx³)/x^8                |x³ kürzen
      = 1,6*10^13 * (4b-3x)/x^5

(man könnte den Bruch noch splitten und dann hinten ein x kürzen, ist aber meines Erachtens nach nicht unbedingt erforderlich, bzw. vereinfacht die Ableitung nicht.

die 2. Ableitung geht dann entsprechend (den riesigen Faktor einfach in dieser Exponentialschreibweise davor stehen lassen...)

Antwort
von poseidon42, 8

Leite einfach die Funktion: g(x) = x^(-3) -b*x^(-4)  , welche auf IR\{0} stetig diffbar ist ab.

Dies geht sofort über die Ableitungsregel für Polynome. Um anschließend f´(x) zu erhalten multipliziere mit dem Konstanten Vorfaktor von K= 1,6*10^13. Daraus folgt:

f´(x) = 1,6*10^13 *g´(x)

denn f(x) = K*g(x)  ----> f´(x) = K*g´(x)   mit der Linearität der Ableitung

Analog folgt die Ableitung 2.Grades zu:

f´´(x) = K*g´´(x) = K*(g´(x))´

Antwort
von precursor, 8

Das kann man auch gleich komplett verallgemeinern, bevor man mit dem Differenzieren beginnt.

f(x) = a / (x ^ n) * (x - b)

Dafür kann man schreiben -->

f(x) = a * ((x - b) / (x ^ n))

f(x) = a * (x ^ (1 - n) - b * x ^ (-n))

Das kann man jetzt sehr bequem ableiten.

Den Faktor a kann man erst einmal ignorieren, wegen der Faktorregel (googeln).

Ableitung von x ^ (1 - n)

(1 - n) * x ^ (-n)

Ableitung von -b * x ^ (-n)

b * n * x ^ (-n - 1)

Nun kommt der Faktor a wieder ins Spiel, so dass man für die Ableitung von f(x) erhält -->

f´(x) = a * ((1 - n) * x ^ (-n) + b * n * x ^ (-n - 1))

Dafür kann man auch schreiben -->

f´(x) = a * ((1 - n) / (x ^ n) + b * n / (x ^ (n + 1)))

Jetzt einfach nur für a, b und n die entsprechenden Zahlen einsetzen um es für einen individuellen Fall auszurechnen.

Antwort
von Naydoult, 13

Fasse zusammen und wende die Quotientenregel an und beachte die Multiplikation mit Konstanten.

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