Frage von HanzeeDent, 33

Wie lässt sich hier eine Grenzwertuntersuchung machen?

c = ln(y(t)/(k-y(t)))-kLt

y(t) -> k für t -> unendlich

Wenn es hilfreich ist: k = 12,010^9; Lk = 0,025

Wie lässt sich c nur in Abhängigkeit von L und k darstellen? Existiert der Grenzwert überhaupt? Wie kann ich das überprüfen?

Antwort
von poseidon42, 20

Benutz die Stetigkeit des Logaritmus für ein Argument aus (0, inf).

Damit folgt, das lim ln(f(x)) = ln( lim f(x) ) falls der Grenzwert von f(x) existiert und aus (0 , inf) ist.

Den Grenzwert y(t)/(k - y(t)) für t gegen inf könntest du eventuell mit dem Satz von L'Hopital berechnen.

Kommentar von HanzeeDent ,

Danke, abeeer:

= ln(-1)-inf

Oh ja, das lässt mein Matheherz höher schlagen :/

Kommentar von poseidon42 ,

Probier vlt mal kLt als ln(e^(kLt)) zu schreiben, dann folgt mit den Logarithmusgesetzen:

c = ln(y(t)/[ (k - y(t))*e^(kLt) ])

Überprüf mal was du da bekommst für t gegen inf.

Kommentar von HanzeeDent ,

Schwierig, nichts sinnvolles...

Kommentar von poseidon42 ,

Mir fällt sonst nichts weiteres ein, könntest ja aber mal Wolfram Alpha den Grenzwert berechnen lassen.

Kommentar von HanzeeDent ,

Meinst du ich kann für y jede Funktion einsetzen, die gegen 12 geht, da ich sie ja explizit nicht kenne, bzw damit würde sich alles auf c kürzen..

Kommentar von poseidon42 ,

Mit   y(t) --> k für t gegen inf und y(t) < k für alle t aus D.

Mit k - y(t) > 0 für t groß genug. Die Exponentialfunktion ist sowieso für alle t aus IR größer Null, daher können wir annehmen, dass

(k - y(t))*e^(kLt) > 0  ; gilt für t groß genug.

Das bedeutet    y(t)/[ (k - y(t))*e^(kLt) ]  > 0 für t groß genug.


Die Frage die nun übrig bleibt ist, läuft (k - y(t)) schneller gegen 0 als e^(kLt) gegen +inf .


Ist y(t) ein Polynom von endlichem Grad lautet die Antwort 

(k - y(t))*e^(kLt) ---> +inf für t gegen +inf ;

da die Exponentialfunktion "schneller wächst als jedes Polynom". In diesem Falle würde also  y(t)/[ (k - y(t))*e^(kLt) ] gegen 0 konvergieren und damit ln( y(t)/[ (k - y(t))*e^(kLt) ] ) gegen -inf.


Handelt es sich bei der Funktion y(t) um eine Funktion die wesentlich schneller wächst als   e^(kLt)  würde (k - y(t))*e^(kLt) gegen 0 konvergieren und dies würde dazu führen, dass y(t)/[ (k - y(t))*e^(kLt)] gegen +inf konvergiert und damit der ln(...) ebenfalls gegen +inf.


Nur um mal Beispielhaft zu zeigen, dass es leider nicht egal ist, welche Gestalt y(t) hat. Hier mal Beispielhaft noch ein paar Limites die das veranschaulichen sollten:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(+(1+-+(e%5E(1%2Fx)))*e%5Ex)+for+x+to+inf

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(+(1+-+(x%5E1000+-+1)%2Fx%5E1000)+*e%5Ex)+for+x+to+inf

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(+(1+-+(x+-+1)%2Fx)+*e%5Ex)+for+x+to+inf

In den Beispielen konvergieren die Ausdrücke:

(1 - e^(1/x)) ; (1 -(x^1000 - 1)/x^1000) ; (1 - (x - 1)/x)

Alle konvergieren für x gegen +inf gegen den gleichen Grenzwert 0. Aber im Produkt mit e^x schauen die Grenzwerte für x gegen +inf unterschiedlich aus.


Wir könnten uns auch fragen ob es eine Funktion gibt, so dass dass Produkt (1 - y(t))*e^t einen endlichen Grenzwert hat. Ein Beispiel wäre:

y(t) = (1 - e^-t )   ---> 1 für t gegen +inf

daraus folgt:

1- y(t) = e^(-t)

und damit:

(1 - y(t))*e^t = e^(-t)*e^(t) = e^0 = 1

Also wie man sehen kann hängt alles von der Gestalt von y(t) ab.

(dabei würde y(t) = 1 - e^(-t) sogar die Bedingung erfüllen < 1 für alle t aus IR und würde wie gesagt gegen den gewünschten Grenzwert 1 streben [ Multiplikation mit k liefert die Funktion!]) 


Hätte y(t) also die Gestalt:   y(t) = k*(1 - e^(-kLt))  ; so würde beispielhaft folgen:

y(t)/( (k - y(t)) *e^(kLt)) = y(t)/(k*e^(-kLt)*e^(kLt) ) = y(t)/k

= 1 - e^(-kLt) ------> 1  für t gegen +inf 

und damit:    ln(...) ----> 0  für t gegen + inf.

Kommentar von HanzeeDent ,

y(t) ist immer kleiner als k, also dürfte lim ln(...) = unendlich sein. Aber langsamer als k*L*t

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