Frage von HanzeeDent, 89

Wie lässt sich die Wahrschenlichkeit berechnen, dass jedes Ereignis (Wenn der Begriff stimmt) mindestens einmal eintritt?

Hallo Community, ich versuche gerade ein Programm zu entwerfen, das mir nach Angabe der Anzahl der Ereignisse, der Einzelwahrscheinlichkeiten und Durchführungshäufigkeit die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der alle Ereignisse mindestens einmal eintreten. (Es ist auch möglich, dass kein Ereignis eintritt). Dazu brauche ich eine allgemeine Form für die Berechnung. Ich hoffe ich kann erklären, was gemeint ist, leider hatte ich Stochastik nicht in der Schule, aber die grundlegende Herangehensweise mit Urnenmodell usw ist mir bekannt.

Ich hab mir folgende Logik überlegt:

nicht(wsl(nichtA) oder wsl(nichtB) oder wsl(nichtC) oder....)

heißt in etwa (denke ich):

1-((1-wsl(A))+(1-wsl(B))+(1-wsl(C)) + ....)

Wenn ich jetzt wüsste, wie ich (allgemein!) die Wahrscheinlichkeit berechne, dass ein Ereignis mindestens 1 mal eintritt, wäre ich schon einen Schritt weiter, leider finde ich im Internet nichts hilfreiches und bin momentan gedanklich ein wenig blockiert.

Ich hoffe mir kann bei dieser Problemstellung geholfen werden, ich bedanke mich schon im Voraus.

Antwort
von Zwieferl, 12

Teilweise hat fjf100 die Frage ja beantwortet, nämlich Binomialverteilung (=Bernoulli-Experiment): Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis (in seinem Fall die "3" beim Würfeln) unter n Ausführungen genau k mal eintritt - kurz P(X=3).

Wenn du wissen willst, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass es mindestens 1 mal eintritt, dann sieht das so aus:

P(X ≥ 1) = P(X=1) + P(X=2) +.....+ P(X=n)  → das kann eine ziemlich lange Schlange sein, denn für jeden Summanden musst du die Formel für die Binomialverteilung einsetzen.

Das kannst du dadurch "abkürzen", indem du die Wahrscheinlichkeit des geneuen Gegenteil errechnest, nämlich dass es nicht mindestens 1 mal vorkommt, also null mal: P(X=0) → da beide zusammen alle Möglichkeiten darstellen, ist Gesamtwahrscheinlichkeit gleich ⇒ P(X≥1) = 1 - P(X=0)

Wie du das dann in dein Programm übertragen kannst, weiß ich nicht - das hängt auch von der verwendeten Programmiersprache ab; vielleicht ist die Binomialverteilung sogar von Haus implementiert.

Kommentar von HanzeeDent ,

ja, über Schleifen werde ich das schon hinbekommen, vielen Dank :)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 17

Kannst ja die Formel für den "Bernoulli-Versuch" programmieren.

Der Bernoulli-Versuch kennt nur T=treffer und N=Niete

n= Anzahl der Versuche.

k= Anzahl,wie oft das Ereignis eintritt

Formel P(x=k)=B(n;p;k)=(n/k) * p^k * (1-p)^(n-k)

(n/k)= n!/(k! * (n-k)! dies ist die Anzahl der möglichen Pfade

Beispiel : Ein Würfel wird n=9 mal geworfen.Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,dass die Zahl 3 k=4 mal kommt

Wahrscheinlichkeit für die Zahl P(3)=p= 1/6= 0,166..

eingesetzt

P(x=k)= 9!/(4! * (9-4)!) * 0,166^4 * (1 -0,166)^(9-4)=0,0386 = 3,86%

Kommentar von AntonJJ ,

Schreib bloß nicht (n/k) AAARGH!

Kommentar von HanzeeDent ,

Das versuche ich mir noch selbst abzugewöhnen, blöder Bruchstrich bei binomialverteilung...^^

Kommentar von fjf100 ,

Konnte ich anders nicht darstellen. Spaltenvektoren muss ich auch so darstellen.

Ich hoffe immer,dass das der Fragesteller weiß.

Aber die Hoffnung stirbt zuletzt.

Kommentar von fjf100 ,

Wie soll ich das darstellen ? Zum Beispiel auch die "Spaltenvektoren",da stehen schließlich 3 Zahlen untereinander.

Antwort
von AntonJJ, 43

Meinst du Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit während einer Durchführung gleich bleibt (Bspw. Würfel) oder Urnenexperimente, wo sich die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen jedes Mal ändert?

Ersteres ist bedeutend einfacher, sodass ich dir die Formel gleich nennen kann.

Zweiteres müsstest du skizzieren und nachdenken, ob sich da eine allgemeine Formel aufstellen lässt.

Kommentar von HanzeeDent ,

Ja, ersteres :)

Kommentar von AntonJJ ,

Bernoulli-Experiment ist das Stichwort. Abhängig von der implementierenden Programmiersprache benötigst du einen Bernoulli-Koeffizienten oder du berechnest ihn mit der Fakultät, da gibts auch eine Formel, die Fakultät aber auf keinen Fall rekursiv berechnen.

dann P(X>=1)=1-P(X<1)=1-P(X<=0)=1-P(X=0) <-- binompdf mit r=0

Fettgekennzeichnetes kennzeichnet den binomcdf(n,p,r), wo es evtl. auch eine Funktion gibt.

Ansonsten P(X=r)=(n über r) * (p)^r * (1-p)^n-r

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