Frage von iMax123, 199

Wie lässt sich das beweisen?

Folgende Aufgabenstellung:


Die Punkte A, B, C und D liegen auf einer Kreislinie - in dieser Reihenfolge. Der Schnittpunkt der beiden Sehnen AC und BD sei P, und der Schnittpunkt der Senkrechten auf AC im Punkt C bzw. auf BD im Punkt D sei Q. Beweise, dass PQ durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.


Wie würdet ihr dieses Problem lösen? Bzw. ist es überhaupt lösbar? Ich rätsele nun schon geraume Zeit daran rum, komme aber nicht auf die Lösung. Danke!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von claushilbig, 92

Du sollst also beweisen, dass PQ senkrecht auf AB steht, wie ich Deinem Kommentar zu einer anderen Antwort entnommen habe ...

Geben wir dem Schnittpunt von PQ und AB mal den Namen R.

Im Weiteren stehe das Symbol "<" für "Winkel" - <XYZ ist also der Winkel mit dem Scheitel im Punkt Y und Schenkeln durch die Punkte X und Z.

  • Dann sind <CPQ und <RPA gleich groß (Scheitelwinkel).
  • Ebenso <DPQ = <BPR und
  • <CPD = <BPA (*)

Das war noch einfach, jetzt wird's spannend: wir müssen nachweisen, dass <CQP und <RAP einander gleich sind ...

  • Aus dem Satz über Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln folgt: <DQC = <DPA.
  • ABP ist ein Dreieck, die Winkelsumme ist 180°. Also gilt <BAP + <BPA + <PBA = 180°
  • PCQD ist ein Viereck, die Winkelsumme ist 360°, <QCP und <PDQ haben per Definition jeweils 90°. Damit gilt <CPD + <DQC =180°
  • Damit gilt: <BAP + <BPA + <PBA = 180° = <CPD + <DQC
  • Mit <CPD = <BPA (s.*) folgt: <BAP + <PBA = <DQC
  • Aus dem Satz über Nebenwinkel folgt: <ARP + <BRP = 180° (**)

Und jetzt hakt's bei mir, über die folgenden Schlüsse bin ich mir nicht ganz sicher (bzw. um diese Tageszeit und mit ein paar Glas Wein intus komme ich nicht drauf):

Man kann einerseits das Dreieck PCQ mit Dreieck PAR in Beziehung setzen, andererseits das Dreieck PDQ mit Dreieck PBR. Daraus, dass für beide "Beziehungen" die gleichen Schlüsse gelten (die Situationen sind quasi an der Geraden durch P, Q und R "gespiegelt"), müsste m. E. folgen:

  • <ARP = <BRP,
  • mit <ARP + <BRP = 180° ergibt sich dann <ARP = <BRP = 180°/2 = 90°

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(Nur zur Info: Ich habe die Situation mit GeoGebra konstruiert und die Punkte lustig hin- und hergeschoben - demnach ist die zu zeigende Aussage offenbar richtig! - Aber Ausprobieren ist kein Beweis ...)

Kommentar von phoenixinfire ,

Hallo,

ich bin ebenfalls interessiert an dem Beweis der Aufgabe.

Meine Frage dazu ist nun: Darf man bei einem Beweis zwei Dreiecke in Beziehung setzten, also geht das durch? Und wie beschreibt man dass dann, sodass es möglichst fachlich ist?

Ich hoffe, du oder jemand anderes kann mir helfen!

phoenixinfire

Kommentar von claushilbig ,

Mit "in Beziehung setzen" meinte ich hier, dass die genannten Dreiecke jeweils zueinander ähnlich sind, also in allen Winkeln übereinstimmen. Dann stimmen auch die Verhältnisse einander entsprechender Seiten überein (a/b = a'/b', a/c = a'/c', b/c = b'/c', bzw. a/a' = b/b' = c/c').

 (Dazu genügt es, zu zeigen, dass sie in zwei Winkeln übereinstimmen, der dritte Winkel ist dann (wegen Winkelsumme 180°) ebenfalls gleich. Alternativ kann man Ähnlichkeit dadurch nachweisen, dass zwei Verhältnisse einander entsprechender Seiten gleich sind, also z. B. a/b = a'/b' und a/c = a'/c' oder a/a' = b/b', das dritte Verhältnis ist dann ebenfalls automatisch gleich.)

Hat man die Ähnlichkeit gezeigt, kann man die daraus folgenden Eigenschaften im weiteren Beweis verwenden.

In diesem Beweis würde es meine "Lücke" schließen, wenn man explizit den Nachweis führt, dass Dreieck PCQ und Dreieck PAR zueinander ähnlich sind. Danach reicht es zu sagen, dass auf identische Weise die Ähnlichkeit zwischen Dreieck PDQ und Dreieck PBR gezeigt werden kann. Aber leider fehlt mir immer noch die Idee für den entscheidenden Schritt :-(

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 109

liegen die Punkte A,B,C,D im gleichen Abstand auf der Kreislinie?

oder völlig beliebig?

Kommentar von iMax123 ,

Beliebiger Abstand, nir die Reihenfolge soll stimmen.

Antwort
von kepfIe, 97

Hast du dich bei der Aufgabe vertippt? So stimmt das nämlich nich.

Kommentar von iMax123 ,

Ups, dann war das wohl zufällig bei meiner Skizze so... 

Ich hab versucht, es theoretisch zu lösen, und mich dann einfach mal auf die Skizze verlassen. 

Die eigentliche Aufgabe ist es, zu beweisen, dass PQ senkrecht auf AB steht.

Kommentar von Ellejolka ,

das hättest du mal gleich sagen sollen!

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community