Frage von phgiering1, 55

Wie kürzt man vollständig 26 * 81 * 35 ----------------- 21 * 45 * 169?

Wie ist der Weg zur vollständigen Kürzung?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 14

Es gibt mehrere Arten, dies zu lösen.

(1) Zunächst ist der Gesamtbruch in Einzelbrüche zu zerlegen, deren Zähler und Nenner nicht teilerfremd sind (also gekürzt werden können):

 26 * 81 * 35       26       81       35
—————— = —— * —— * ——
21 * 45 * 169     169      45       21

Nun muss mit dem größten gemeinsamen Teiler gekürzt werden.

Bei 26 und 169: 13 (2*13, 13*13)
Bei 81 und 45: 9 (9*9, 5*9)
Bei 35 und 21: 7 (5*7, 3*7)

Also können die Brüche gekürzt werden:

 26       81      35        2*13      9*9     5*7
—— * —— * —— = ——— * —— * ——
169      45       21      13*13     5*9     3*7

                                  2         9        5
                             = —— * —— * ——
                                 13        5        3

                                  2         9        5
                             = —— * —— * ——
                                 13        3        5

Der letzte Bruch kürzt sich vollständig, der mittlere Bruch kann mit 3 gekürzt werden.

   2        9         5         2       3*3 
—— * —— * —— = —— * —— * 1
  13       3         5        13      1*3

                                  2         3
                             = —— * ——
                                 13        1

Jetzt sind die Einzelbrüche wieder auf einen Gesamtbruch zusammenzufassen:

  2*3          6
——— = ——
 13*1        13

Und damit hast du das gekürzte Ergebnis bestimmt: 6/13. 

(2) Ein anderer Weg, dies zu lösen, ist mittels Primfaktorzerlegung, bei der sich gleiche Faktoren vollständig kürzen und man am Ende das gekürzte Ergebnis erhält.

Bei der Primfaktorzerlegung wird ein Produkt in einzelne Faktoren zerlegt, die Primzahlen, also auch teilerfremd sind.

Primfaktorzerlegungen:

26 = 2*13
81 = 3*3*3*3
35 = 5*7

169 = 13*13
45 = 3*3*5
21 = 3*7

Nun können die Zahlen im Zähler und im Nenner durch die entsprechenden Produkte ersetzt werden:

 26*81*35         2*13 * 3*3*3*3 * 5*7
————— = ——————————
169*45*21        13*13 * 3*3*5 * 3*7

Das Umstellen der Faktoren der Größe nach macht einfach erkennbar, was zu kürzen ist:

  2 * 3*3*3*3 * 5 * 7 * 13
———————————
   3*3*3 * 5 * 7 * 13 * 13

Nun können die verschiedenen Zahlen gekürzt werden (ich habe die zu kürzenden Produkte in Klammern gesetzt, um dies erkennbar zu machen):

 2 * (3*3*3)*3 * (5) * (7) * (13)
—————————————
 (3*3*3) * (5) * (7) * (13) * 13

Kürzt man nun die markierten Produkte und Zahlen, bleibt folgendes übrig:

 2*3       6
—— = ——
 13        13

Auch hier bekommt man das gleiche Ergebnis 6/13 heraus.

Das sind die beiden Verfahren, die bei der Kürzung eines derartigen längeren Bruchterms angewendet werden können. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch weiterführende Fragen hast oder einen Schritt nicht nachvollziehen konntest, so kommentiere einfach, damit ich dir helfen kann. 

LG Willibergi

Kommentar von Geograph ,

Ich würde den 2. Weg empfehlen. Siehe auch meinen Kommentar zum Beitrag von Volens

Antwort
von ELLo1997, 22

Zahlen faktorisieren (zur Übersichtlichkeit sind die ursprünglichen Zahlen eingeklammert):

((13*2)*(3*3*3*3)*(7*5))/((3*7)*(5*3*3)*(13*13))

Gleiche Faktoren kürzen und fertig.

Lg

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 31

 26 * 81 * 35
__________          zunächst mit 13; 9 und 7
169 * 45 * 21

    2 * 9 * 5 
=  ________          dann nochmal mit 3 und 5
   13 * 5 * 3

     2 *  3 * 1
=  _______            normalerweise durchstreichen und drüber oder drunter
                              schreiben
    13 * 1 * 1

=  6 / 13

Man könnte auch gleich mit größeren Zahlen kürzen, wenn man sie im Kopf überblicken kann, besser aber in mehreren Schritten. Und sauber schreiben, wenn man es hinterher kontrollieren möchte! Die Zahlen nie dazwischenschmieren!



Kommentar von Geograph ,

Das setzt aber voraus, daß man erkennt (bzw. weiß), daß 26 und 169 beides Vielfache von 13 sind.

(Btw.
169 sollte man ja eigentlich als eine der Quadratzahlen bis 20, die man hoffentlich irgendwann mal gelernt hat, kennen )

Für Anfänger würde ich den 2. Weg (Zerlegung in Primfaktoren) von Willibergi empfehlen.

Kommentar von Volens ,

Das mag der FS dann selber entscheiden.

Vielleicht macht er dann gleich die Erfahrung, dass beim Vorkommen von 26, 28 und 34 wahrscheinlich noch andere Vielfache von 13, 14 und 17 in der Aufgabe stecken-

Kommentar von Oubyi ,

Ich hatte das Ganze anders gruppiert und möchte Euch meine Version nicht vorenthalten (:o):

 26 * 81 * 35
__________          zunächst mit 13; 3 und 5
169 * 21 * 45

2 * 27 * 7
__________         Jetzt die 7 gegen die 7 und die 9 gegen die 27
13 * 7 * 9

 

2 * 3 *1

__________         und ausrechnen
13 * 1 * 1

6 __

                      Fertig

13

Ist natürlich gleichwertig.

Betonen möchte ich aber nochmal, wie wichtig es ist die Quadratzahlen bis 25² = 625 auswendig zu wissen, so dass man hier sofort sieht, dass 169 = 13² ist.

Antwort
von augsburgchris, 35

Primzahlenzerlegung und dann kürzen.

Antwort
von Wechselfreund, 3

Mich würde interessieren, woher die Aufgabe stammt. Eine sinnvolle Vorgehensweise wäre Primfaktorzerlegung, diese ist leider (in NRW) G8 zum Opfer gefallen...

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