Frage von Dafni, 24

Wie kriege ich die Scheitelform heraus?

Hallo Leute,

ich habe eine quadratische Funktion gegeben mit f(x)= -1/2x^2+x+3/2 gegeben. Wie komme ich auf die Scheitelform ohne die quadratische Funktion zu verwenden? Ich muss die Funktion dann in ein Koordinatensystem zeichnen.

Danke für alle Antworten :)

LG, Dafni

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von AnnnaNymous, 19

Mit der quadratischen Ergänzung

f(x)= -1/2x^2+x+3/2 | Die Vorzahl von x² ausklammern

y = -0,5 (x² - 2x - 3) | Die Klammer in ein Binom umformen / die Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat addieren und gleich wieder abziehen 

y = -0,5 (x² - 2x +1 - 1 - 2)

y = -0,5 [(x² - 1)² - 3] | Die eckige Klammer auflösen

y = -0,5 (x² - 1)² + 3/2

Der Scheitelpunkt liegt bei (1|3/2)

Kommentar von AnnnaNymous ,

sorry - da ist ein Fehler drin - hier nochmal

Mit der quadratischen Ergänzung

f(x)= -1/2x^2+x+3/2 | Die Vorzahl von x² ausklammern

y = -0,5 (x² - 2x - 3) | Die Klammer in ein Binom umformen / die Hälfte der Vorzahl von x zum Quadrat addieren und gleich wieder abziehen 

y = -0,5 (x² - 2x +1 - 1 - 3)

y = -0,5 [(x² - 1)² - 4] | Die eckige Klammer auflösen

y = -0,5 (x² - 1)² + 2

Der Scheitelpunkt liegt bei (1|2)

Kommentar von witthaus ,

Wenn du x^2-2x+1 zu einer binomischen Formel zusammenfasst, muss es (x-1)^2 sein, nicht (x^2-1)^2 :)

Kommentar von AnnnaNymous ,

stimm - hoch 2 hat sich eingeschlichen^^

Antwort
von gilgamesch4711, 4

  Völlig unbelehrbar immer wieder die selbe Frage.

  Erste Möglichkeit; du gehst in die Normalform.

   x  ²  -  p   x  +  q   (  1a  )

   p  =  2  ;  q  =  (  -  3  )    (  1b  )

   x0  =  p/2  =  1   (  2a  )

  Warum ist das so? Satz von Vieta

   p  =  x1  +  x2    (  2b  )

  Und der Scheitel liegt immer symmetrisch in der Mitte.

     Metode 2 : das von mir entwickelte Fortschmeißverfahren, zur Vereinfachung des Problems tust du einfach das Absolutglied weg schmeißen.

   F  (  x  )  :=  -  1/2  x  ²  +  x  =   (  3a  )

                   =  x  (  1  -  1/2  x  )    (  3b  )

      X1  =  0  ;  X2  =  2   (  3c  )

  die beiden Nullstellen ( 3c ) hast du ja sofort heraus; auch hier wieder der x0-Wert von ( 2a ) durch Bildung des aritmetischen Mittelwertes.

  Begründung. Der Scheitel ändert seine Lage doch nicht, wenn ich die Parabel 3/2 einheiten nach Unten schiebe.

  Das mit Abstand beliebteste Verfahren stellt jedoch die ===> Differenzialrechnung der höheren Matematik dar. Es zeugt von Initiative und Interesse, wenn du in der Klausur Konzeptzettel abgibst, wo du alles noch mal mit dieser Differenzialrechnung kontrollierst; die ===> erste Ableitung ist Null zu setzen:

   f  (  x  )  :=  -  1/2  x  ²  +  x  +  3/2     (  4a  )

   f  '  (  x  )  =  -  x  +  1  =  0  ===>  x0  =  1    (  4b  )

  Der y0-Wert folgt dann durch Einsetzen von x0 in ( 4a ) am Besten mittels des Hornerschemas.

   p2  (  f  )  :=  a2  (  f  )  =  (  -  1/2  )        (  5a  )

  p1  (  f  ;  x0  )  :=  p2  x0  +  a1  (  f  )  =  (  -  1/2  )  +  1  =  1/2     (  5b  )

  p0  (  f  ;  x0  )  :=  p1  x0  +  a0  (  f  )  =  1/2  +  3/2  =  2  =  f  (  x0  )  =  y0     (  5c  )

   Scheitelpunktsform

   f  (  x  )  =  a2  (  x  -  x0  )  ²  +  y0  =      (  6a  )

                =  -  1/2  (  x  -  1  )  ²  +  2   (  6b  )    ;  Probe !

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